Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2026 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,5 điểm

1)
Giải phương trình
$1+5\sqrt[3]{1-25x^2}+\sqrt[3]{1+5x}+\sqrt[3]{1-5x}=4\left(\sqrt[3]{(1+5x)^2}+\sqrt[3]{(1-5x)^2}\right).$
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^3+8y^3+6xy+x=3\left(x^2+4y^2\right)+1,\\ x^3+2=x^2+2y. \end{cases}$

Câu II

1,5 điểm

Xét phương trình $(x^3+y)(y^3+x)=3^z$ , trong đó $x, y, z$ là các số nguyên dương.

1)
Chứng minh rằng khi $x=y$ thì không tồn tại $z$ thỏa mãn phương trình.
2)
Tìm tất cả các bộ $(x,y,z)$ thỏa mãn phương trình với $x>y$ .

Câu III

1,0 điểm

Với các số thực không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn đẳng thức $a+b+c+d=1$ , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S=\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-\left(a^5+b^5+c^5+d^5\right).

Câu IV

3,0 điểm

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{DCB} < \widehat{ADC} < 90^\circ$ , giả sử có điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $PA$ vuông góc $AD$ và $PB$ vuông góc $BC$ . Dựng hình bình hành $PAQB$ . Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $Q$ lên $AB$ .

1)
Chứng minh rằng $\widehat{KQB}=\widehat{BCD}$ .
2)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $CD$ . Chứng minh rằng $\dfrac{HD}{HC}=\dfrac{KB}{KA}$ .
3)
Lấy điểm $R$ sao cho $DR$ song song $AH$ và $CR$ song song $BH$ . Gọi giao điểm của hai đường thẳng $RH$ và $AB$ là $L$ . Chứng minh rằng các điểm $D,C,K,L$ cùng nằm trên một đường tròn.

Câu V

1,0 điểm

Với mỗi dãy số $a_1,a_2,\dots,a_{600}$ gồm 600 số nguyên dương, ký hiệu $m$ là số bộ $(a_i,a_j,a_k)$ với $1\le i < j < k \le 600$ thỏa mãn $a_j=a_i+1$ và $a_k=a_j+1$ . Xét tất cả các dãy số như trên, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $m$ .