Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán (chuyên) lần 3 năm 2026 — Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1

3,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y + \sqrt{x - y} = 9 \\ \sqrt{14 - x} - \sqrt{x - y} = 1 \end{cases}$ (với $x, y \in \mathbb{R}$ ).
b)
Cho $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ là các số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $\{1,2,3,4,5,6\}$ . Gọi $T$ là tập hợp các nghiệm lớn hơn 4 của các phương trình: $x^2 - a_1x + b_1 = 0$ , $x^2 - a_2x + b_2 = 0$ , $x^2 - a_3x + b_3 = 0$ . Chứng minh số phần tử của tập hợp $T$ nhỏ hơn hoặc bằng 2.

Câu 2

2,0 điểm

Tìm tất cả các số nguyên tố $a, b, c$ và số nguyên dương $d$ thỏa mãn điều kiện

\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} + \frac{b^2}{c^3} = \frac{1}{d}.

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , $BE$ là đường cao. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $N$ (khác $C$ ). Gọi $P$ là giao điểm của $MN$ và $CE$ . Chứng minh

a)
Các tam giác $BAN, MEN$ đồng dạng.
b)
Trực tâm của tam giác $PBC$ thuộc đường tròn $(O)$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho $S$ là một tập hợp khác rỗng gồm các số nguyên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

○ $0; 1 \notin S$ .

○ Nếu $a, b \in S, a \neq b$ thì $a - b \in S$ .

○ Nếu $a \in S$ thì $2a \in S$ và $3a \in S$ .

Chứng minh tồn tại số nguyên dương $d \in S$ sao cho tất cả các phần tử thuộc $S$ chia hết cho $d$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho bảng vuông kích thước $1 \times 36$ được chia thành 36 ô vuông đơn vị và $A$ là tập các số nguyên dương không vượt quá 18. Điền các số lấy từ tập $A$ vào bảng đó sao cho mỗi ô vuông đơn vị được điền một số và mỗi số xuất hiện đúng hai lần. Hỏi tồn tại hay không cách điền thỏa mãn điều kiện: Với mọi $k$ thuộc $A$ , giữa hai ô vuông đơn vị được điền số $k$ luôn có đúng $k$ ô vuông đơn vị khác?