Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2025–2026 lần 2 — Trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,5 điểm

a)
Cho $a, b$ là các số thực thoả mãn $ab + \sqrt{ab+1} + \sqrt{(a^2+b)} \cdot \sqrt{(b^2+a)} = 0$ . Tính giá trị biểu thức $S = a\sqrt{b^2+a} + b\sqrt{a^2+b}$ .
b)
Mỗi cạnh của một hình vuông được tô màu một cách ngẫu nhiên bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để hai cạnh kề nhau bất kì của hình vuông luôn khác màu.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho các số thực $a, b, c$ không nhỏ hơn 1. Chứng minh:

$\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c} + \frac{\sqrt{bc-1}}{c+a} + \frac{\sqrt{ca-1}}{a+b} \leq \frac{a+b+c}{4}.$
b)
Cho đa thức $f(x) = a^{2026}x^2 + bx + a^{2026}c - 1$ , với $a, b, c$ là các số nguyên. Giả sử rằng phương trình $f(x) = -2$ có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh: $\frac{(f(1))^2 + (f(-1))^2}{2}$ là hợp số.

Câu 3

1,5 điểm

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương, đôi một nguyên tố cùng nhau $(a, b, c)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì biểu thức $(a^n + b^n + c^n)^2$ chia hết cho $ab + bc + ca$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn đường kính $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$ . Các đường thẳng $AM$ , $BC$ cắt nhau tại $K$ . Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và đường tròn $(O)$ .

a)
Chứng minh $KI$ vuông góc với $AI$ .
b)
Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của $KE$ với đường tròn $(O)$ . Chứng minh:
$\frac{MC}{MB} \cdot \frac{NB}{NC} = \frac{AB}{AC}.$

Câu 5

1,0 điểm

Một khu vực được chia thành lưới $8 \times 8$ gồm 64 ô vuông. Một số ô được đặt camera giám sát. Một ô không có camera gọi là được giám sát đầy đủ nếu tổng số camera nằm trên hàng và cột chứa ô đó không nhỏ hơn 8. Biết rằng mọi ô không có camera đều được giám sát đầy đủ. Hỏi: Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô không có camera?

HẾT