Đề khảo sát kiến thức tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Trường THPT chuyên Sơn Tây, Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

1)
Bạn An gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất và ghi lại số lần xuất hiện các mặt của con xúc xắc. An đem xóa số lần xuất hiện mặt 3 chấm và mặt 4 chấm (như bảng).
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Mặt} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Số lần xuất hiện} & 3 & 2 & & & 3 & 2 \\ \hline \end{array}$
An nói với Bình rằng “Đố bạn điền được đúng số vào hai chỗ trống tớ đã xóa. Biết rằng, xác suất thực nghiệm của biến cố ‘xúc xắc ra mặt lẻ’ bằng $\frac{3}{5}$ và tổng số lần gieo xúc xắc của tớ lớn hơn 10 và bé hơn 20”. Bạn hãy giúp bạn Bình điền số vào chỗ trống?
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{5}{c} = 0$ . Chứng minh $2a^2 + 3b^2 = 4c^2$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Cho $p, q$ là hai số nguyên tố sao cho $p > q > 3$ và $p - q = 2$ . Chứng minh tổng $p + q$ chia hết cho $12$ .
2)
Tìm tất cả cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $(x - y)(2x + y + 1) + 9(y - 1) = 13$ .

Câu III

2,0 điểm

1)
Cho các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a, b$ nguyên tố cùng nhau và $ab + c^2$ chia hết cho $ac$ . Chứng minh $a$ là một số chính phương.
2)
Với các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a}{2(a^2 + 1) + bc} + \frac{b}{2(b^2 + 1) + ca} + \frac{c}{2(c^2 + 1) + ab}$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Gọi các điểm $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$ và đoạn thẳng $AC$ . Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ cắt các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại các điểm $B, C$ lần lượt tại $D$ và $E$ .

1)
Chứng minh các đường thẳng $MN, BE$ và $CD$ cùng đi qua một điểm.
2)
Gọi $G$ là giao điểm của $BE$ và $AC$ . Chứng minh $\frac{GA}{GC} = \frac{BA^2}{BC^2}$ .
3)
Gọi $K$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ , trung điểm của các đoạn thẳng $BG, CK$ lần lượt là $X$ và $Y$ . Chứng minh $\widehat{XCB} = \widehat{YBC}$ .

Câu V

1,0 điểm

Có thể chia được tập hợp gồm $1975$ số nguyên dương đầu tiên thành $5$ tập hợp rời nhau sao cho mỗi nhóm có cùng số phần tử và có tổng của các phần tử bằng nhau hay không? Vì sao?

HẾT