Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2025 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,5 điểm

1)
Giải phương trình
$\sqrt[4]{x+1} + \sqrt[4]{3x^2 - 2x + 1} = \sqrt[4]{2x^2 - x + 1} + \sqrt[4]{x^2 + 1},$
trong đó với $a$ là số thực không âm thì $\sqrt[4]{a} = \sqrt{\sqrt{a}}$ .
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x + y + xy = 3, \\ 1 + 12(x + y) = 7y^3 + 6xy(y + 3 - xy). \end{cases}$

Câu II

2,5 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn
$25^y + (4^x + 1)(4x^2 + 3x + 3) = (4^x + 4x^2 + 3x + 4)5^y.$
2)
Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $1 < x, y, z < 2$ . Chứng minh rằng
$\left(\frac{x^3}{y^3} + \frac{y^3}{z^3} + \frac{z^3}{x^3}\right)\left(\frac{x^3}{x^3 + 8z^3} + \frac{y^3}{y^3 + 8x^3} + \frac{z^3}{z^3 + 8y^3}\right) \geq \frac{3xy}{z^2 + 8xy} + \frac{3yz}{x^2 + 8yz} + \frac{3zx}{y^2 + 8zx}.$

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $O$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{BAC} < 90^\circ$ . Xét đường tròn $(O)$ tiếp xúc các cạnh $CA, AB$ theo thứ tự tại $R, Q$ . Trên các cạnh $CA, AB$ lần lượt lấy $E, F$ (không trùng các đỉnh tam giác) sao cho $EF$ tiếp xúc $(O)$ tại $P$ và $EF$ không song song $BC$ . Gọi $H, K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $OFB, OEC$ . Gọi giao điểm của $FH, EK$ với $BC$ lần lượt là $M, N$ .

1)
Chứng minh rằng hai tam giác $OHM, OKN$ đồng dạng và $\dfrac{OK}{OH} = \dfrac{AE}{AF}$ .
2)
Dựng điểm $G$ sao cho $OHGK$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $O, G, P$ thẳng hàng.
3)
Lấy $S, T$ lần lượt đối xứng với $Q, R$ qua $BC$ . Giả sử $X$ là giao điểm của $SF$ và $TE$ , $D$ là giao điểm của $BS$ và $CT$ . Chứng minh rằng $AX$ song song với $PD$ .

Câu IV

1,0 điểm

Một tập $M$ các số thực phân biệt được gọi là tập đặc biệt nếu nó có những tính chất sau:

i) với mỗi $x, y \in M$ , $x \neq y$ thì $xy \neq 0$ , $x + y \neq 0$ và đúng một trong hai số $xy, x + y$ là số hữu tỷ;

ii) với mỗi $x \in M$ thì $x^2$ là số vô tỷ.

Hãy tìm số phần tử lớn nhất có thể có của tập đặc biệt.