Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG TP HCM

Chứng minh rằng với mọi $m$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

Chứng minh $x_1^4 + x_2^4 > \dfrac{9}{2}$.

Chứng minh $\left(x_1 + \sqrt{x_1^2 + 1}\right)\left(x_2 + \sqrt{x_2^2 + 1}\right) = 1$ khi và chỉ khi $m = -1$.

Hãy chỉ ra một cách ghi thỏa mãn các điều kiện trên.

Trong các cách ghi thỏa mãn các điều kiện trên, tìm cách ghi có tổng bình phương của các số ở bốn đỉnh là nhỏ nhất.

Chứng minh không tồn tại $m, n$ thỏa mãn $(1)$ khi $n = 3$.

Tìm $m, n$ thỏa mãn $(1)$ biết $m$ chia hết cho $n$.

Ký hiệu $d$ là ước chung lớn nhất của $m$ và $n$. Chứng minh nếu $m, n$ thỏa mãn $(1)$ thì $m = d^2$.

Chứng minh các điểm $A, D, E, F$ thuộc một đường tròn và đường tròn này đi qua tâm $O$ của $(O)$.

Chứng minh rằng tam giác $DBE$ và tam giác $DCF$ đồng dạng. Chứng minh rằng đường cao qua $D$ của tam giác $DEF$ và đường cao qua $A$ của tam giác $ABC$ cắt nhau trên $(O)$.

Ký hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$, đi qua các điểm $A, D, E, F$. Tiếp tuyến của $(I)$ tại $O$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$ ở $S$. Gọi $R$ là trung điểm $OD$ và $K$ là giao điểm của $SI$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $SDO$ ($K \neq S$). Chứng minh $\widehat{RKD} = 90^\circ$ và $DK$ đi qua trung điểm của $IR$.

Xét $k = 4$. Chứng minh rằng Bình có thể thắng sau không quá $8$ lượt chơi.

Xét $k = 2$. Chứng minh rằng Bình có thể thắng sau không quá $16$ lượt chơi.