Đề tham khảo tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $a + b + c \le 2\sqrt{abc}$. Chứng minh rằng, trong ba số $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ không có hai số nào có tổng lớn hơn $1$.

Một chiếc hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại, trong đó có bốn tấm thẻ ghi số 1, bốn tấm thẻ ghi số 2, ..., và bốn tấm thẻ ghi số 10. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất để hai tấm thẻ được chọn cùng ghi một số.

Giải phương trình: $(x + 1)\left(\sqrt{2x + 4} - 2\sqrt{x + 3}\right) + \sqrt{2x^2 + 10x + 12} = -2$.

Trong các bộ ba số nguyên tố có tổng bằng 242, bộ ba nào có tích lớn nhất?

$AI$ vuông góc với $MN$.

$IB.IM = IC.IN$.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ đi qua hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$.

Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $a \ge b \ge c$. Chứng minh rằng

$\frac{a^3b}{c} + b^2c + c^3 \ge \frac{a^2b^2}{c} + bc^2 + c^2a.$

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình (với ẩn $x, y$): $x^2 + xy + y^2 = 2^n$, có nghiệm hữu tỉ.