Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 1) năm 2025 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,5 điểm

1)
Giải phương trình
$x+2\sqrt{(x+1)(x+6)}+2\sqrt{x+1}=2+2\sqrt{x+6}.$
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^2+6y^2+7xy+x+6y=21,\\ 21(22-5y^2-5xy+x-4y)=27(x+6y). \end{cases}$

Câu II

2,5 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn
$y+\frac{1}{y}=\frac{x^4+6x^2+1}{2x(x^2+1)}.$
2)
Với $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M=\frac{\sqrt[3]{a}}{(2-a)^2(a+2b)}+\frac{\sqrt[3]{b}}{(2-b)^2(b+2c)}+\frac{\sqrt[3]{c}}{(2-c)^2(c+2a)}.$

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Trên các cạnh $CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $E, F$ (không trùng các đỉnh tam giác) sao cho $AE=AF$ . Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $CM$ vuông góc $CA$ , $BN$ vuông góc $BA$ . $K$ là giao điểm của $BN$ và $CM$ .

1)
Chứng minh rằng $KM=KN$ .
2)
Dựng các hình bình hành $ANQF$ và $AMRE$ . Chứng minh rằng $\widehat{NQK}=\widehat{MRK}$ .
3)
Gọi $L, J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M, N$ lên đường thẳng $BC$ , $S$ là giao điểm của $JF$ và $LE$ , $T$ là điểm đối xứng với $S$ qua $EF$ . Chứng minh rằng $A, T, K$ thẳng hàng.

Câu IV

1,0 điểm

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi cách sắp xếp 99 điểm màu đỏ và 100 điểm màu xanh trên mặt phẳng (không có 3 điểm nào thẳng hàng), ta luôn vẽ được $k$ đường thẳng, mỗi đường thẳng không đi qua điểm nào trong các điểm trên và các đường thẳng đó chia mặt phẳng thành các miền mà trong mỗi miền không có 2 điểm khác màu.