Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2023 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^4 + 4y^4 - 5x^2y^2 = 4, \\ (3x + 4y - 2)(x^2 + 2y^2 - 3xy) = 4. \end{cases}$
2)
Giải phương trình
$\sqrt{x} + \sqrt{3 - 2x} = 1 + \sqrt{2 - x} + \frac{1}{3}\sqrt{x - 1}.$

Câu II

2,5 điểm

1)
Tìm các số $x, y$ nguyên dương thỏa mãn đẳng thức
$(x + y)^3 + 6xy + 3y^2 + y = 8x^3 + 9x^2 + 1.$
2)
Giả sử $x_1, x_2, \dots, x_{2024}$ là các số thực dương thỏa mãn $x_1x_2\dots x_{2024} = 1$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M = (x_1^2 - x_1 + 1)(x_2^2 - x_2 + 1)\dots (x_{2024}^2 - x_{2024} + 1).$

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ , $E, F$ lần lượt là trung điểm của $CA, AB$ . Điểm $P$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B, C$ ). Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $PC, PB$ với $EF$ . $AM, AN$ cắt $(O)$ theo thứ tự tại $Q, R$ ( $Q, R$ khác $A$ ).

1)
Chứng minh rằng tứ giác $AFPM$ nội tiếp và $\widehat{EPF} = \widehat{QPR}$ .
2)
Chứng minh rằng giao điểm của $QE$ và $RF$ nằm trên $(O)$ .
3)
Lấy $S, T$ lần lượt thuộc các đường thẳng $CA, AB$ sao cho ba đường thẳng $ET, FS, AP$ song song với nhau. Gọi $K$ và $L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $NFS$ và $MET$ . Đường thẳng qua $K$ vuông góc với $AB$ cắt đường thẳng qua $L$ vuông góc với $AC$ tại $J$ . Chứng minh rằng $J$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $P$ thay đổi.

Câu IV

1,0 điểm

Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có thể cắt hình vuông có cạnh bằng $m$ thành đúng $5$ hình chữ nhật mà độ dài $10$ cạnh của $5$ hình chữ nhật đó được lấy từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ và mỗi số được lấy đúng một lần.