Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Cần Thơ

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức $Q = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) : \left(\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}\right)$ , với $x > 0, x \neq 1, x \neq 4$ .

a)
Rút gọn biểu thức $Q$ .
b)
Tính giá trị của biểu thức $Q$ khi $x = \dfrac{2}{2 + \sqrt{3}}$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = x + 2$ .
b)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = (m + 3)x - 3m$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ thỏa mãn $\sqrt{y_1} + \sqrt{y_2} = 5$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Trong một trò chơi, An gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất hai lần. Lần thứ nhất An gieo được mặt $a$ chấm, lần thứ hai An gieo được mặt $b$ chấm. An sẽ thắng trong trò chơi nếu hai số $a, b$ thỏa mãn đa thức $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 6$ chia hết cho đa thức $(x - 2)$ . Tính xác suất để An thắng trong trò chơi.
b)
Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $(x + y)^2 = x + 2$ .

Câu 4

2,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ , các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ .

a)
Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp và $AB.AF = AC.AE$ .
b)
Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AO$ và cắt $AB, AC$ tương ứng tại $P, Q$ . Chứng minh $PQ$ song song với $EF$ .
c)
Giả sử $\widehat{BAC} = 45^{\circ}$ . Chứng minh rằng chu vi tam giác $HPQ$ bằng đường kính của đường tròn $(O)$ .

Câu 5

2,0 điểm

a)
Một người thợ muốn xây một hồ cá thủy sinh bằng xi măng có dạng hình hộp chữ nhật (không có nắp) có đáy là hình vuông. Yêu cầu đặt ra là thể tích lòng hồ cá phải chứa đúng $4 \text{ m}^3$ nước. Để tổng diện tích bề mặt bên trong (gồm một mặt đáy và bốn mặt bên) nhỏ nhất, người thợ cần thiết kế độ dài cạnh đáy và chiều cao của lòng hồ cá bằng bao nhiêu mét?
b)
Một robot được lập trình di chuyển dọc theo trục tọa độ $Ox$ . Ban đầu robot đứng ở điểm gốc tọa độ $O$ (có tọa độ bằng $0$ ). Robot thực hiện liên tiếp $2026$ bước di chuyển. Ở bước di chuyển thứ $k$ (với $k = 1; 2; \dots; 2026$ ), robot có thể tiến về phía trước hoặc lùi về phía sau một khoảng có độ dài đúng bằng $k$ . Hỏi sau $2026$ bước di chuyển, robot có thể quay trở lại đúng điểm gốc tọa độ $O$ được không? Vì sao?