Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) lần 2 năm 2023 — Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức:

$A = \left[ \frac{6x}{\sqrt{x} - 1} + \frac{7(\sqrt{x} + 1)}{x} + \frac{4}{x\sqrt{x} - x} \right] : \frac{3x - 1}{x - \sqrt{x}}, \text{ với } x > 0, x \ne 1, x \ne \frac{1}{3}.$

1)
Rút gọn $A$ .
2)
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$ .

Câu 2

1,5 điểm

Một ô tô xuất phát lúc 6 giờ từ Hà Nội đến một bến xe ở Hà Tĩnh. Ban đầu xe di chuyển với vận tốc 45 km/h. Nhận thấy nếu cứ đi với tốc độ đó thì xe sẽ đến muộn hơn so với quy định 1 giờ nên sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, lái xe tăng tốc và đi với vận tốc 60 km/h trên suốt quãng đường còn lại. Do đó xe đến nơi sớm hơn quy định 30 phút. Tính quãng đường xe phải đi và thời điểm xe đến bến xe ở Hà Tĩnh.

Câu 3

2,5 điểm

1)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $(d): y = ax + b$ đi qua điểm $M(1; -1)$ và cắt đường thẳng $(d'): y = 2x + 7$ tại điểm có tung độ bằng 5. Tính diện tích của tam giác xác định bởi $(d)$ và hai trục tọa độ.
2)
Cho phương trình $x^2 - 2(m + 2)x + m^2 - 3 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn:
$(x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1)(x_2 + 1) = 2(x_1 + x_2)^2.$

Câu 4

3,0 điểm

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ tiếp xúc trong với nhau tại $A$ $(R < R')$ . Đường kính $AB$ của đường tròn $(O)$ cắt đường tròn $(O')$ tại điểm thứ hai $C$ . Qua $C$ kẻ tiếp tuyến $CF$ với $(O)$ , $F$ là tiếp điểm.

1)
Khi $R = \dfrac{2}{3}R'$ hãy tính diện tích của tam giác $FAB$ theo $R$ .
2)
Gọi $G$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $AB$ . Trên nửa mặt phẳng không chứa $F$ có bờ là đường thẳng $AB$ kẻ đường thẳng qua $C$ , cắt $(O)$ tại $D, E$ ( $E$ nằm giữa $C, D$ ). Chứng minh rằng $OGED$ là tứ giác nội tiếp.
3)
Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ cắt đường tròn $(O')$ tại $H$ thuộc nửa mặt phẳng chứa $D$ có bờ là đường thẳng $AB$ . Kéo dài $OF$ cắt $AH$ tại $I$ . Chứng minh rằng $CI$ vuông góc với đường nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ và tam giác $DIE$ .

Câu 5

1,0 điểm

Có hay không một đa thức bậc hai với hệ số nguyên $P(x) = ax^2 + bx + c$ nhận $\sqrt[3]{5}$ là nghiệm? Em hãy giải thích câu trả lời của mình.

HẾT