Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 1) năm 2026 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,5 điểm

1)
Giải phương trình

$3x + \sqrt[3]{(2 + 3x)(2 - x)}\left(\sqrt[3]{2 + 3x} - 2\sqrt[3]{2 - x}\right) = 6.$
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 2x + 3y + 6xy = 2, \\ 3(4x^2 + 9y^2) = 6xy(4x^2 + 9y^2) + 30xy + 12. \end{cases}$

Câu II

2,5 điểm

1)
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn đẳng thức

$8x^3 + 27y^3 = 18xy + 4x + 6y + 4.$
2)
Ký hiệu $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ . Với $y_1, y_2, \ldots, y_6$ là các số thực bất kì, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$M = \sum_{i=1}^{6} \left(\frac{2y_i}{1 + y_i^2}\right)^2 \left(\frac{2y_{i+1}}{1 + y_{i+1}^2} - \frac{2y_{i-1}}{1 + y_{i-1}^2}\right), \text{ trong đó } y_0 = y_6, y_7 = y_1.$

Câu III

3,0 điểm

Cho hình thoi $ABCD$ với $\widehat{BAD} < 90^\circ$ . Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ $(M \neq A, D)$ . Các đường thẳng $CM$ và $AB$ cắt nhau tại $Q$ .

1)
Chứng minh rằng hai tam giác $BCQ$ và $DMC$ đồng dạng.
2)
Trên cạnh $AB$ lấy điểm $N$ $(N \neq A, B)$ . Đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $AD$ tại $R$ . Chứng minh rằng $\dfrac{BN}{BQ} = \dfrac{DM}{DR}$ .
3)
Gọi $(O)$ là đường tròn tiếp xúc với $AB, AD$ lần lượt tại $B, D$ . Giả sử tiếp tuyến qua $R$ (khác $RD$ ) và tiếp tuyến qua $Q$ (khác $QB$ ) của $(O)$ cắt nhau tại $P$ . Gọi giao điểm của $AP$ và $QR$ là $S$ . Chứng minh rằng đường thẳng $CS$ đi qua trung điểm của $MN$ .

Câu IV

1,0 điểm

Có 100 điểm phân biệt trong một ngũ giác lồi, các điểm này cùng 5 đỉnh của ngũ giác tạo thành 105 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng ngũ giác được chia hoàn toàn thành những tam giác được tạo bởi các đoạn thẳng nối giữa 2 trong 105 điểm trên sao cho:

i) Không có 2 đoạn thẳng nào có điểm chung (ngoại trừ các đầu mút của chúng);

ii) Mỗi tam giác không chứa bất kì điểm nào ở bên trong nó.

Tính số tam giác thỏa mãn những yêu cầu trên.