Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Trường THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Câu 1

2,0 điểm

a)
Chứng minh rằng
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9.$
b)
Cho $a,b,c$ là ba số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng $I=a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)$ luôn khác $0$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$a^{2}+5b^{2}=2b+(c+2)^{2}+9(a-b)(b-c)(c-a)+6.$
Chứng minh rằng $a+b+c$ là số chẵn.
b)
Tìm tất cả các số nguyên $m$ để $(m+1)(m^{2}+2m)$ là một số chính phương.

Câu 3

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^{4}-2x^{3}-14x^{2}+32x-16=0$ .
b)
Tìm tất cả bộ ba số thực không âm $(x;y;z)$ thỏa mãn:
$\begin{cases} x \le y \le z \\ x+y+z=xy+yz+zx \\ \sqrt{yz}(x+1)=2 \end{cases}$

Câu 4

3,0 điểm

Cho điểm $A$ di động trên nửa đường tròn đường kính $BC$ tâm $O$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$ , dựng đường tròn tâm $I$ đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$ . Gọi $D$ là giao điểm của $MN$ và $OA$ .

a)
Chứng minh tứ giác $HIDO$ nội tiếp và $\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC}$ .
b)
Khi $AB<AC$ , gọi $P$ là giao điểm của $BC$ và $MN$ , $K$ là giao điểm thứ hai khác $A$ của đường tròn đường kính $BC$ và đường tròn đường kính $AH$ . Chứng minh $A,K,P$ thẳng hàng.
c)
Gọi $E,F$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ACH$ và $ABH$ . Xác định vị trí điểm $A$ để chu vi tam giác $EFH$ lớn nhất.

Câu 5

1,0 điểm

Hai bạn Vinh và Tùng, mỗi bạn có $99$ tấm thẻ, trên mỗi tấm thẻ của từng bạn ghi một số nguyên dương từ $1$ đến $99$ (trên hai tấm thẻ khác nhau của mỗi bạn ghi hai số khác nhau). Bạn Hưng có $99$ cái hộp trống, Hưng bảo Vinh và Tùng bỏ ngẫu nhiên vào mỗi hộp một thẻ, sau đó ghi lên mỗi hộp trị tuyệt đối của hiệu hai số trong hộp. Tùng khẳng định: Chắc chắn có hai hộp sẽ được Hưng ghi cùng một số. Hỏi bạn Tùng nói đúng hay sai?