Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Thời gian: 120 phút
Số câu: 14 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn2,0 điểm

Câu 1

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x+2025}$ là

A
$\displaystyle x \le -2025$
B
$\displaystyle x = -2025$
C
$\displaystyle x \neq -2025$
D
$\displaystyle x \ge -2025$

Câu 2

Cặp số $(x;y) = (1;2)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A
$\displaystyle 2x - 3y = 12$
B
$\displaystyle 3x - y = 1$
C
$\displaystyle x + y = 5$
D
$\displaystyle x - 2y = 1$

Câu 3

Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = -1 \\ x + 4y = 3 \end{cases}$

A
$\displaystyle (-1;1)$
B
$\displaystyle (1;1)$
C
$\displaystyle (1;-1)$
D
$\displaystyle (1;2)$

Câu 4

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Giá trị $x_{1} + x_{2}$ bằng

A
$\displaystyle -6$
B
$\displaystyle -5$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 5$

Câu 5

Thống kê điểm kiểm tra học kỳ 2 của lớp 9A thu được bảng như sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{Số học sinh} & 2 & 8 & 9 & 10 & 8 \\ \hline \end{array}}

Theo bảng số liệu trên, lớp 9A có bao nhiêu học sinh đạt điểm 7?

A
$\displaystyle 10$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 7$

Câu 6

Người ta thống kê lại chiều cao một loại cây sau một năm tuổi cho ở bảng ghép nhóm như sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Chiều cao (cm)} & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65) \\ \hline \text{Tần số} & 5 & 20 & 18 & 9 & 8 \\ \hline \end{array}}

Giá trị đại diện của nhóm $[50;55)$ bằng

A
$\displaystyle 50$
B
$\displaystyle 52,5$
C
$\displaystyle 55$
D
$\displaystyle 18$

Câu 7

Bóng của một cái cây do ánh nắng mặt trời chiếu xuống mặt đất dài $20 m$ . Biết rằng các tia sáng của ánh nắng mặt trời song song với nhau và tạo với mặt đất một góc $45^{\circ}$ (tham khảo hình vẽ bên). Chiều cao của cái cây đó là

Hình vẽ minh họa bóng cây dài 20 m và góc tạo bởi tia nắng với mặt đất là 45°

A
$\displaystyle 20\sqrt{2} m$
B
$\displaystyle 10 m$
C
$\displaystyle 20 m$
D
$\displaystyle 10\sqrt{2} m$

Câu 8

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng $5 dm$ và chiều cao bằng $6 dm$ . Thể tích của khối trụ đó là

A
$\displaystyle 150\pi dm^{3}$
B
$\displaystyle 30\pi dm^{3}$
C
$\displaystyle 50\pi dm^{3}$
D
$\displaystyle 60\pi dm^{3}$

Phần II. Tự luận8,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Trong một hộp kín đựng 10 tấm thẻ được đánh số tự nhiên từ 1 đến 10, không có hai thẻ nào được đánh số giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp đã cho. Tính xác suất của biến cố $A$ : "Lấy được thẻ ghi số chẵn".

Câu 2

1,0 điểm

Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right) : \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ (với điều kiện $x > 0, x \ne 1$ ).

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ để $23x \cdot P = 2025$ .

Câu 3

1,0 điểm

Một cái cổng được thiết kế dạng parabol có phương trình biểu diễn trong hệ trục tọa độ $Oxy$ là $y = ax^{2}$ (với $a$ là hằng số khác $0$ ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB = 6 m$ , chiều cao từ điểm chính giữa cổng đến mặt đất là $OI = 4,5 m$ (tham khảo hình vẽ sau).

Hình vẽ cổng parabol trong hệ trục tọa độ Oxy và xe tải minh họa cho Câu 3

a)
Tìm hệ số $a$ dựa vào dữ kiện đã cho.
b)
Một xe tải có chiều rộng bằng $2 m$ , chiều cao bằng $3,2 m$ (tham khảo hình vẽ trên) đi vào chính giữa cổng trên. Hỏi xe tải này có thể đi qua được cổng đó mà không chạm vào cổng hay không? Giải thích lý do.

Câu 4

1,0 điểm

Bác Vĩnh và bác Phúc cùng gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với tổng số tiền là 900 triệu đồng. Bác Vĩnh gửi vào ngân hàng A với lãi suất $7\%$ một năm, bác Phúc gửi vào ngân hàng B với lãi suất $6\%$ một năm. Sau khi gửi được đúng một năm, tổng số tiền lãi mà hai bác nhận được là 60 triệu đồng. Hỏi ban đầu mỗi bác gửi tiết kiệm bao nhiêu tiền?

Câu 5

3,0 điểm

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ , có tâm là điểm $O$ . Đường thẳng đi qua tâm $O$ và vuông góc với đường kính $AB$ cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm $C$ . Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ ( $D$ không trùng với $C$ ), kẻ $CH$ vuông góc với đường thẳng $BD$ tại điểm $H$ .

a)
Chứng minh tứ giác $OBHC$ nội tiếp.
b)
Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $HO$ và $BC$ . Chứng minh $HO$ là tia phân giác của $\widehat{CHB}$ và $CE \cdot CH = BE \cdot HD$ .
c)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại điểm $K$ ( $K$ không trùng với $C$ ). Chứng minh $DE > 2 \cdot CK$ .

Câu 6

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + 4bc + 4ca = 28$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \dfrac{11a + 11b + 24c}{\sqrt{8a^{2} + 224} + \sqrt{8b^{2} + 224} + \sqrt{16c^{2} + 28}}$ .

HẾT