Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Nghệ An

Câu 1

1,5 điểm

a)
Bảng sau thống kê tiền lương 50 công nhân của một công ty trong tháng 5 năm 2025:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tiền lương (triệu đồng)} & [7;8) & [8;9) & [9;10) & [10;11) & [11;12) & [12;13) \\ \hline \text{Tần số} & 10 & 7 & 10 & 8 & 9 & 6 \\ \hline \end{array}$
Hỏi nhóm nào có tần số nhỏ nhất? Tính tần số tương đối của nhóm đó.
b)
Một tổ học sinh có 3 bạn nữ là Hoa, Hồng, Hà và 4 bạn nam là An, Bình, Dũng, Cường. Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một bạn từ tổ học sinh đã cho”. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Bạn học sinh được chọn là nam”.

2,0 điểm

a)
Tính $A = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt{25}$ .
b)
Rút gọn biểu thức $B = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{x - 9}\right) : \dfrac{x + 1}{x - 3\sqrt{x}}$ , với $x > 0, x \neq 9$ .
c)
Tìm $b$ để đường thẳng $y = x + b$ cắt đồ thị hàm số $y = 2x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ .

2,5 điểm

a)
Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng, Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng. Tính giá của mỗi chiếc bút và giá của mỗi quyển vở (biết giá của mỗi chiếc bút là như nhau và giá của mỗi quyển vở là như nhau).
b)
Tháng 1 năm 2025, tập đoàn ô tô X sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường tăng lên, tháng 2 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên $x\%$ so với tháng 1. Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên $2x\%$ so với tháng 2. Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe. Tính $x$ .
c)
Cho phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm dương $x_{1}, x_{2}$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{|7x_{2} - 3x_{1}^{2}|}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}}$ .

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ , đường cao $AH$ . Kẻ $HD, HE$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$ $(D \in AB, E \in AC)$ .

a)
Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Trên tia đối của tia $DH$ lấy điểm $F$ $(F \neq D)$ . Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $FB$ cắt đường thẳng $AH$ tại $G$ . Kẻ $GI$ vuông góc với $HF$ $(I \in HF)$ . Chứng minh tam giác $IFG$ đồng dạng với tam giác $HBG$ và $IF = DH$ .
c)
Tia phân giác của góc $HEC$ cắt $CH$ tại $K$ . Kẻ $KM, KN$ lần lượt vuông góc với $EH, EC$ $(M \in EH, N \in EC)$ . Hai đoạn thẳng $CM$ và $HN$ cắt nhau tại $T$ . Gọi $P$ là giao điểm của $HN$ và $KM$ , $Q$ là giao điểm của $CM$ và $KN$ . Chứng minh $ET$ vuông góc với $PQ$ .

1,0 điểm

a)
Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính đáy bằng 4 cm, mực nước trong bình có chiều cao bằng 10 cm. Bác muốn đổ hết nước từ bình sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng 6 cm (hình vẽ bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?
b)
Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 1 cm, một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.

HẾT