Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 — Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Thời gian: 120 phút
Số câu: 10 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn2,0 điểm

Câu 1

Điều kiện xác định của biểu thức $P(x) = \sqrt{x - 10}$ là

A
$\displaystyle x \le 10$
B
$\displaystyle x \neq 10$
C
$\displaystyle x = 10$
D
$\displaystyle x \ge 10$

Câu 2

Đồ thị hàm số $y = 3x + 2$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A
$\displaystyle (1;2)$
B
$\displaystyle (1;5)$
C
$\displaystyle (3;2)$
D
$\displaystyle (2;3)$

Câu 3

Phương trình nào sau đây có tích hai nghiệm bằng $2$ ?

A
$\displaystyle x^{2} + 2x - 3 = 0$
B
$\displaystyle x^{2} - 2x = 0$
C
$\displaystyle x^{2} - 3x + 2 = 0$
D
$\displaystyle x^{2} + 4x + 3 = 0$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AB = 5\text{cm}$ , $AC = 12\text{cm}$ . Độ dài cạnh $BC$ bằng

A
$\displaystyle 13\text{cm}$
B
$\displaystyle 17\text{cm}$
C
$\displaystyle 7\text{cm}$
D
$\displaystyle 12\text{cm}$

Phần II. Tự luận8,0 điểm

Câu 5

1,0 điểm

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x - 5y = 16 \\ 3x + 2y = -3 \end{cases}$

Câu 6

1,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{3\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}\right) + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 2}$ , với $x \ge 0$ .

a)
Rút gọn biểu thức $A$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.

Câu 7

2,0 điểm

Cho parabol $(P): y = x^{2}$ và đường thẳng $(d): y = 4x - m - 1$ .

a)
Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ khi $m = 2$ .
b)
Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn giá trị $x_{1}$ , $x_{2}$ bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là $h = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ .

Câu 8

1,0 điểm

Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi, cô chủ nhiệm lớp đi mua bút làm quà tặng cho học sinh. Cửa hàng cô đến mua đang có chương trình ưu đãi như sau: giảm giá $20\%$ so với giá niêm yết từ cái thứ $1$ đến cái thứ $30$ cho mỗi cái bút; từ cái thứ $31$ trở đi được áp dụng mức giảm giá tiếp theo là $40\%$ so với giá niêm yết cho mỗi cái bút.

a)
Cô mua $40$ cái bút hết $900.000$ đồng. Tính giá niêm yết của một cái bút?
b)
Nếu cô có $1.260.000$ đồng thì cô mua được bao nhiêu cái bút?

Câu 9

2,5 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ , đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $A$ , điểm $C$ di động trên $d$ sao cho $C$ không trùng với $A$ và $CA > R$ . Từ $C$ kẻ tiếp tuyến $CD$ của đường tròn $(O)$ ( $D$ là tiếp điểm và $D$ không trùng với $A$ ).

a)
Chứng minh tứ giác $AODC$ nội tiếp đường tròn.
b)
Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $OC$ , $BC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$ ( $K \neq B$ ), đoạn thẳng $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $I$ . Chứng minh rằng $IC \cdot IO = IH \cdot CO$ và $\widehat{CKH} = 2\widehat{IAO}$ .
c)
Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$ . Đường thẳng qua $O$ vuông góc $AB$ cắt $CE$ tại $M$ . Tìm vị trí của $C$ để biểu thức $T = 9 \cdot \dfrac{CA}{CM} + \dfrac{ME}{MO}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 10

0,5 điểm

Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{b}{a^{2} + 1} + \dfrac{c}{b^{2} + 1} + \dfrac{a}{c^{2} + 1} + \dfrac{1}{4}(ab + bc + ca)$ .

HẾT