Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 — Sở GD&ĐT Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $4x^2 + 5x - 6 = 0$ .
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x = y + 3 \\ \dfrac{3x - 1}{2} = y + 1 \end{cases}$

Câu 2

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $P = \left(2 - \dfrac{2}{1 - \sqrt{x}}\right) : \left(\dfrac{x + 2}{x + \sqrt{x} - 2} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\right)$ , với $x \geq 0; x \neq 1$ .
2)
Cho hai đường thẳng $(d_1): y = 2x - 5$ và $(d_2): y = (2m + 1)x + m - 2$ . Tìm các giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có tung độ bằng $3$ .

Câu 3

2,0 điểm

1)
Một người thợ dự định may $1000$ chiếc khẩu trang trong một thời gian nhất định. Nhờ tăng năng suất lao động, nên mỗi ngày người đó may thêm được $30$ chiếc khẩu trang so với kế hoạch. Do đó, chẳng những đã may vượt mức $170$ chiếc khẩu trang mà còn hoàn thành công việc sớm hơn dự định $1$ ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày người đó dự định may được bao nhiêu chiếc khẩu trang?
2)
Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình $x^2 - 2mx - 4m - 5 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả mãn $x_1^2 - 2(m - 1)x_1 + 2x_2 - 4m = 5 + 2x_1x_2$ .

Câu 4

1,0 điểm

Hai người đứng trên bờ hồ tại các điểm $A$ và $B$ cách nhau $200$ mét quan sát một điểm $C$ trên cái cây phía bờ bên kia. Dùng giác kế, người tại $A$ đo được $\widehat{CAB} = 45^0$ , người tại $B$ đo được $\widehat{CBA} = 60^0$ (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi điểm $C$ đó cách điểm $A$ bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình vẽ tam giác ABC với $\widehat{CAB}=45^0$ và $\widehat{CBA}=60^0$

Câu 5

2,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến đường tròn $(O)$ , với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $AO$ và $BC$ .

1)
Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.
2)
Gọi $M, N$ là hai giao điểm của đường thẳng $AO$ với đường tròn $(O)$ sao cho $M$ thuộc đoạn $AN$ . Gọi $P$ là trung điểm $HN$ , đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BP$ tại $J$ cắt đường thẳng $BM$ tại $S$ .
1. a)
  Chứng minh rằng hai tam giác $BPN$ và $SHB$ đồng dạng.
2. b)
  Hai đường thẳng $SP$ và $BC$ cắt nhau tại $K$ , đường thẳng qua $B$ vuông góc với $SP$ tại $I$ cắt đường thẳng $MN$ tại $Q$ . Chứng minh rằng $HK.HQ = PQ.KC$ .

Câu 6

1,0 điểm

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $xy^2 + yz^2 + zx^2 = 3xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{xz^2}{y(y^2 + z^2)} + \dfrac{yx^2}{z(z^2 + x^2)} + \dfrac{zy^2}{x(x^2 + y^2)}$ .