Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Câu I

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{45} - \dfrac{8}{\sqrt{5} - 1} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$ .
2)
Cho biểu thức $B = \left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2} - \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} - \dfrac{4\sqrt{a} - 1}{4 - a}\right) : \dfrac{1}{\sqrt{a} + 2}$ (với $a \ge 0, a \ne 4$ ).
1. a)
  Rút gọn biểu thức $B$ .
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị nguyên của $a$ để biểu thức $B$ nhận giá trị dương.

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $(\sqrt{x} - 1)^2 - \sqrt{x} - 5 = 0$ .
2)
Hai lớp 9A và 9B quyên góp ủng hộ sách giáo khoa cũ cho các bạn ở vùng cao. Lớp 9A mỗi bạn ủng hộ 2 quyển sách, lớp 9B mỗi bạn ủng hộ 3 quyển sách. Biết số học sinh cả hai lớp là 75 em và số quyển sách cả hai lớp quyên góp được là 190 quyển. Tính số học sinh ở mỗi lớp.

Câu III

1,5 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = -3x + 2$ và đường thẳng $(\Delta)$ có phương trình $y = (m^2 - 7)x + m$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $(\Delta)$ .
2)
Cho phương trình $x^2 - 3(m - 1)x - 1 = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + 4x_2^2 = 3x_1 - 6x_2 - 4$ .

Câu IV

4,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ có hai đường kính $AB$ và $MN$ ( $M, N$ không trùng với các điểm $A, B$ ). Các đường thẳng $BM, BN$ cắt tiếp tuyến kẻ từ điểm $A$ của đường tròn $(O; R)$ lần lượt tại các điểm $E, F$ .

1)
Chứng minh $AM // BF$ .
2)
Chứng minh tứ giác $MNFE$ nội tiếp đường tròn.
3)
Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AE, AF$ . Kẻ đường thẳng $PI$ vuông góc với $BQ$ ( $I$ là điểm thuộc $BQ$ ), đường thẳng $PI$ cắt $OA$ tại $H$ . Chứng minh $H$ là trung điểm của $AO$ .
4)
Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $BPQ$ theo $R$ khi hai đường kính $AB$ và $MN$ thay đổi.

Câu V

0,5 điểm

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{a}{b^2} + \dfrac{b}{c^2} + \dfrac{c}{a^2} + \dfrac{9}{2(a + b + c)}$ .