Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 (đợt 2) — Phòng GD&ĐT huyện Ứng Hòa, Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức:

A = \frac{x+7}{\sqrt{x}+8} \text{ và } B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{8\sqrt{x}+24}{9-x} \text{ (với } x \ge 0; x \ne 9\text{)}

1)
Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 4$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Cho $P = A.B$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{P}$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông dài $90$ km rồi ngược dòng về $63$ km. Biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là $1$ giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là $6$ km/h. Tính vận tốc ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng.
2)
Một hình nón có bán kính đáy bằng $5$ cm và diện tích xung quanh là $65\pi \text{ cm}^2$ . Tính thể tích của khối nón đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} + \sqrt{3y-1} = 7 \\ \dfrac{5}{x+1} - 2\sqrt{3y-1} = 4 \end{cases}$
2)
Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2mx + 3$ .
1. a)
  Tìm các điểm nằm trên parabol $(P)$ có tung độ bằng $4$ .
2. b)
  Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $S_{AOB} = 6$ (đvdt).

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ , $AM$ cắt $CD$ tại $E$ . Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$ . Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $DN$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $M, N, D, E$ cùng nằm trên một đường tròn.
2)
Chứng minh: $EN // CB$ .
3)
Chứng minh $AM.BN = 2R^2$ và tìm vị trí $M$ trên cung nhỏ $BC$ để diện tích $\Delta BNC$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu V

0,5 điểm

Cho các số $a; b; c$ không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$ . Chứng minh rằng: $T = a^{2025} + b^{2024} + c^{2023} - ab - bc - ca \le 1$ .

HẾT