Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2024 — Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG TP HCM

Thời gian: 120 phút
Số câu: 15 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn2,0 điểm

Câu 1

Biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$ xác định khi và chỉ khi:

A
$x \ge 1$ và $x \ne 1$
B
$x \ge 0$ và $x \ne 1$
C
$\displaystyle x \ne 1$
D
$x \ge -1$ và $x \ne 1$

Câu 2

Thu gọn biểu thức $A = \dfrac{4 - a^{2}}{4} \sqrt{\dfrac{16}{(a - 2)^{2}}}$ với $a < 2$ , ta được kết quả là:

A
$\displaystyle A = 2 - a$
B
$\displaystyle A = a - 2$
C
$\displaystyle A = 2 + a$
D
$\displaystyle A = -a - 2$

Câu 3

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm, BC = 10cm$ . Giá trị của $\sin B$ là:

A
$\displaystyle \dfrac{3}{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{3}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{4}{5}$

Câu 4

Parabol $(P): y = x^{2}$ và đường thẳng $(d): y = -2x - m$ có điểm chung khi và chỉ khi:

A
$\displaystyle m \ge 1$
B
$\displaystyle m \le 1$
C
$\displaystyle m > 1$
D
$\displaystyle m < 1$

Câu 5

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $M$ là giao điểm các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $B$ . Biết $\widehat{ACB} = 40^{\circ}$ . Khi đó $\widehat{AMB}$ bằng:

A
$\displaystyle 120^{\circ}$
B
$\displaystyle 70^{\circ}$
C
$\displaystyle 100^{\circ}$
D
$\displaystyle 150^{\circ}$

Câu 6

Cho đường thẳng $(d): y = ax + b$ như hình vẽ. Hỏi kết luận nào sau đây là đúng?

Đồ thị đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy

A
$\displaystyle a < 0, b > 0$
B
$\displaystyle a < 0, b < 0$
C
$\displaystyle a > 0, b < 0$
D
$\displaystyle a > 0, b > 0$

Câu 7

Biết rằng phương trình $x^{2} + 2(m + 1)x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng $1$ . Khi đó nghiệm còn lại là:

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -3$

Câu 8

Cho 3 đường tròn có cùng bán kính $50cm$ đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Diện tích tam giác có 3 đỉnh là tâm của 3 đường tròn này bằng:

A
$\displaystyle 2.500\sqrt{3}cm^{2}$
B
$\displaystyle 2000\sqrt{3}cm^{2}$
C
$\displaystyle 1500\sqrt{3}cm^{2}$
D
$\displaystyle 2000\sqrt{6}cm^{2}$

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = 2cm$ và $\widehat{BAC} = 120^0$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ . Độ dài đoạn $MN$ bằng:

A
$\displaystyle 2\sqrt{2}cm$
B
$\displaystyle \sqrt{3}cm$
C
$\displaystyle 3\sqrt{2}cm$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{3}}{2}cm$

Câu 10

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ lên đường thẳng $(d): y = 2x - 4$ . Độ dài đoạn $OH$ bằng:

A
$\displaystyle \sqrt{5}$
B
$\displaystyle \sqrt{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{5}}$
D
$\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{5}}$

Phần B. Tự luận8,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} - 3}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $x \geq 0, x \neq 1, x \neq 4$ .

a)
Chứng minh $A.(\sqrt{x} - 1)$ không phụ thuộc vào giá trị của $x$ .
b)
Tìm $x$ sao cho $A.(x + 1) = 5$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $(\sqrt{(x + 1)(x^2 - 6x + 9)} + |12 - 4x|)(\sqrt{2x^2 + 9} - x - 3) = 0$ .
b)
Cho hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $AB = 2cm$ , đáy lớn $CD = 6cm$ và $M$ là một điểm nằm trên cạnh bên $BC$ . Xác định tỷ số $\dfrac{BM}{BC}$ để diện tích tam giác $MAD$ bằng $\dfrac{3}{8}$ lần diện tích hình thang $ABCD$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho phương trình $x^2 - 2x + 2m - 3 = 0$ ( $m$ là tham số).

a)
Giải phương trình khi $m = 2$ .
b)
Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn:
$(x_1^2 + m - 3)^2 + (x_2^2 + m - 3)^2 = 18.$

Câu 4

1,0 điểm

An và Bình, mỗi bạn mang một số tiền ra nhà sách mua bút và vở. Mỗi cây bút có giá 10 ngàn đồng và mỗi quyển vở có giá 20 ngàn đồng. An và Bình dự tính rằng với số tiền mang theo cả hai đều sẽ mua vừa đủ một số bút và vở, trong đó mỗi bạn sẽ mua được số bút nhiều gấp đôi số vở. Khi đến nơi hai bạn mới biết hôm nay nhà sách giảm giá $10\%$ trên mỗi cây bút và $20\%$ trên mỗi quyển vở.

a)
An nhận thấy với cách giảm giá trên mình có vừa đủ tiền để mua cùng số bút và nhiều hơn 3 quyển vở so với dự tính. Hỏi An mang theo bao nhiêu tiền và dự tính mua bao nhiêu cây bút, bao nhiêu quyển vở trước khi đến nhà sách?
b)
Bình nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua nhiều hơn 2 cây bút và 2 quyển vở so với dự tính mà vẫn dư lại một số tiền. Hỏi Bình mang theo bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền còn dư ít hơn 10 ngàn đồng?

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC} < 90^0$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $S$ , $SB$ cắt $(O)$ tại $D$ ( $D$ khác $B$ ) và $CD$ cắt $SA$ tại $K$ .

a)
Chứng minh $SA$ song song với $BC$ và $KA^2 = KC.KD$ .
b)
Chứng minh tam giác $KSD$ đồng dạng với tam giác $KCS$ và $K$ là trung điểm của $AS$ .
c)
Chứng minh $CA^2 = 2CD.CK$ và $DB = 2DC$ .

HẾT