Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2024 — Sở GD&ĐT Nam Định

Câu 1

2,0 điểm

1)
Tìm điều kiện xác định của biểu thức $P = \sqrt{x + 2024} + \dfrac{2025}{x^2 - 2x + 1}$ .
2)
Cho đường thẳng $y = 2x + 3$ cắt parabol $y = x^2$ tại hai điểm phân biệt. Tính tổng tung độ của hai điểm đó.
3)
Tính diện tích của hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$ .
4)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6, AC = 8$ . Quay tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $AC$ . Tính thể tích của hình được tạo thành.

Câu 2

1,5 điểm

Xét biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 4}{x + 5\sqrt{x} + 4} - \dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} + \dfrac{3\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + 1}$ với $x \ge 0$ .

1)
Rút gọn biểu thức $A$ .
2)
Tìm giá trị lớn nhất của $A$ .

Câu 3

2,5 điểm

1)
Cho phương trình $x^2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0$ (với $m$ là tham số).
1. a)
  Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ sao cho $\left(x_2^2 - 2mx_2 + 2m\right)(2x_1 - 5) = 2024$ .
2)
Giải phương trình $x^2 + 5x - 4 - 2(x + 1)\sqrt{3x - 1} = 0$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ với đường kính $BC$ . Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $D$ , gọi $DA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ với $A$ là tiếp điểm. Kẻ đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ tại $M$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $E$ ( $E$ khác $A$ ). Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABE$ , $AH$ cắt $BC$ tại $F$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AH$ , đường thẳng $BI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ ( $K$ khác $B$ ), $AK$ cắt $BD$ tại $N$ .

1)
Chứng minh các điểm $E, M, F, H$ cùng thuộc một đường tròn và $DB.DC = DM.DO$ .
2)
Chứng minh $AFEC$ là hình thoi và $\widehat{BAH} = \widehat{ADB}$ .
3)
Chứng minh $MK \perp AN$ và $MD = 2MN$ .

Câu 5

1,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} \sqrt{4x^2 + (y + 2)(x - y)} + 2\sqrt{xy} = 4y \\ \sqrt{x - 1} + \sqrt{5y - 1} = 3x^2 - 7x + 6 \end{cases}$

.
2)
Xét ba số dương $a, b, c$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $abc = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \dfrac{a}{a^3 + 3} + \dfrac{b}{b^3 + 3} + \dfrac{c}{c^3 + 3}$ .

Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2024 — Sở GD&ĐT Nam ĐịnhMã đề 1