Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên, vòng 2) năm 2025 — Trường THPT chuyên ĐH Vinh, Nghệ An

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

5,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x + xy + y = 14 \\ x^{3} + 3x^{2} + 3x - y = 1 \end{cases}$
b)
Giải phương trình $3\left(\sqrt{x-2} + \sqrt{x^{2}-4}\right) + 8 = \sqrt{x+2} + 5x.$

Câu 2

3,0 điểm

a)
Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ bé hơn $2026$ sao cho $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho $5$ ?
b)
Giả sử $x, y$ là các số tự nhiên thỏa mãn $2x^{2} + x = 3y^{2} + y$ . Chứng minh rằng $2x + 2y + 1$ là số chính phương.

Câu 3

1,5 điểm

Cổng một ngôi trường có dạng hình parabol cao $6$ m, khoảng cách giữa hai chân cổng là $12$ m. Nhà trường đang thiết kế để treo một màn hình led hình chữ nhật có $2$ đỉnh nằm trên đường parabol ở độ cao bằng nhau, mép dưới màn hình led cách mặt đất $4,5$ m. Hỏi diện tích của màn hình led lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Cổng parabol cao 6 m, rộng 12 m với màn hình LED hình chữ nhật có mép dưới cách mặt đất 4,5 m

Câu 4

1,5 điểm

Xét các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $0 \le x \le y \le z \le 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{yz+1} + \dfrac{y}{zx+1} + \dfrac{z}{xy+1}.$

Câu 5

7,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các đường cao $BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ ( $E$ thuộc $AC$ , $F$ thuộc $AB$ ). Đường thẳng $AH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$ .

a)
Chứng minh rằng $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HK$ .
b)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CHK$ cắt $AC$ tại điểm thứ hai là $I$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHK$ cắt $AB$ tại điểm thứ hai là $J$ . Chứng minh rằng $IJ // EF$ .
c)
Gọi $M$ là trung điểm $AI$ . Chứng minh rằng các điểm $C, M, F, K$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 6

2,0 điểm

Chọn tùy ý $m$ số trong các số nguyên lẻ từ $1$ đến $1001$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$ để đảm bảo rằng có ít nhất một cặp số trong $m$ số được chọn mà một trong hai số đó chia hết cho số còn lại.

HẾT