Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Rút gọn biểu thức $P$.

Tính giá trị biểu thức $P$ với $a = \sqrt{27} \cdot \sqrt{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 1}$.

Giải hệ phương trình

Xếp ngẫu nhiên 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng dọc. Tính xác suất để học sinh nam và học sinh nữ đứng xen kẽ nhau.

Bác An ở vị trí $A$ trên hòn đảo cách bờ biển một khoảng $AH = 2 km$, nhà bác An ở vị trí $B$ trên bờ biển cách $H$ một khoảng $3 km$ (hình vẽ bên). Bác An chèo xuồng từ $A$ đến $C$ với vận tốc $v_{1} = 3 km/h$ ($C$ nằm giữa $H$ và $B$) và đi bộ đến $B$ với vận tốc $v_{2} = 4 km/h$. Tính độ dài $BC$ biết thời gian chèo xuồng gấp đôi thời gian đi bộ.

Từ một tấm tôn hình tròn có bán kính $R = 15 cm$, người ta làm một hình nón bằng cách cắt một phần của hình tròn dạng hình quạt có diện tích bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích hình tròn. Tính thể tích của hình nón tạo thành (như hình bên).

Chứng minh $CEHF$ là hình chữ nhật và $OC$ vuông góc với $EF$.

Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ và $N$ ($E$ nằm giữa $M$ và $F$). Chứng minh $CM^{2} = CE \cdot CA$.

Gọi $D$ là giao điểm của $MN$ và $AB$, $K$ là giao điểm của $CD$ và đường tròn $(O)$ ($K$ khác $C$). Chứng minh tam giác $EFK$ là tam giác vuông.