Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

1)
Giải bơi của một trường Trung học cơ sở ban đầu chỉ có học sinh khối 6, 7 và 8 đăng kí tham gia với số liệu học sinh được cho như trong biểu đồ cột kép ở hình bên. Ngay trước khi giải đấu diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nữ khối 9 đăng kí bổ sung. Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh đăng kí tham gia giải trước và sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung là không thay đổi. Tìm số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu.
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực khác $0$ , thỏa mãn $a + b + c \neq 0$ và $ab + bc + ca = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^2 - bc} + \dfrac{1}{b^2 - ca} + \dfrac{1}{c^2 - ab}$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $3a^2 - bc$ , $3b^2 - ca$ , $3c^2 - ab$ đều chia hết cho $4$ . Chứng minh $abc$ chia hết cho $8$ .
2)
Tìm tất cả cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $2(2x - y)(y - x)^2 = 15x - 7y + 7$ .

Câu III

2,0 điểm

1)
Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2b + b^2c + c^2a + 16 = ab^2 + bc^2 + ca^2$
1. a)
  Chứng minh $(a - b)(b - c)(c - a) = 16$ .
2. b)
  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^2 + b^2 + c^2$ .
2)
Tìm tất cả các số hữu tỉ dương $m$ và $n$ sao cho các biểu thức $m + n + mn$ ; $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{mn}$ và $\dfrac{m}{n}$ đều nhận giá trị là số nguyên.

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$ , nội tiếp đường tròn $(O)$ . Hai đường cao $AD, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ . Tia $MH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $T$ . Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$ .

1)
Chứng minh ba điểm $T, H, K$ thẳng hàng.
2)
Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $AM$ tại điểm $E$ , cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $G$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDG$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$ tại hai điểm $D$ và $N$ . Chứng minh đường thẳng $NE$ song song với đường thẳng $BF$ .
3)
Kẻ dây cung $AX$ của đường tròn $(O)$ sao cho đường thẳng $AX$ song song với đường thẳng $BC$ . Chứng minh ba đường thẳng $MX, TD$ và $AN$ đồng quy.

Câu V

1,0 điểm

Hai trường trung học cơ sở $A$ và $B$ tổ chức chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu biểu. Biết rằng trong buổi liên hoan này:

(i) mỗi học sinh trường $A$ quen với đúng 5 học sinh khác cùng của trường $A$ ;

(ii) mỗi học sinh trường $A$ quen với đúng 4 học sinh trường $B$ ;

(iii) mỗi học sinh trường $B$ quen với đúng 3 học sinh trường $A$ ;

(iv) tổng số học sinh của hai trường tham dự không vượt quá 80.

1)
Số học sinh trường $A$ tham dự buổi liên hoan có thể là 25 học sinh được không? Vì sao?
2)
Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan có thể nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?

HẾT