Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An

Câu 1

2,0 điểm

a)
Biết rằng $(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)...(n^2+1)$ chia hết cho $1297^2$ , với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh $n \geq 649$ .
b)
Tìm các số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn các điều kiện sau: $a - b$ là số nguyên tố, $a.b$ là số chính phương và $a + b - 3$ chia hết cho $5$ .

Câu 2

7,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^2 + \dfrac{4x^2}{(x-2)^2} = 5$ .
b)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3 - 9y = 18x - 5y^3 \\ x^2 + 4 = 5(y^2 - 1) \end{cases}$ .

Câu 3

2,0 điểm

Kết thúc năm học, thầy giáo chọn ngẫu nhiên bốn trong năm bạn lớp 9A gồm: An, Bình, Cường, Dũng, Thảo để dự hội nghị tuyên dương.

a)
Tính xác suất để trong bốn bạn được chọn có bạn An.
b)
Ban tổ chức chuẩn bị bốn phần quà khác nhau dành riêng cho mỗi bạn lớp 9A tham dự. Tại hội nghị, do quên ghi tên trên quà nên ban tổ chức đã phát ngẫu nhiên quà cho bốn bạn, mỗi bạn nhận một phần quà. Tính xác suất của biến cố “có ít nhất một bạn nhận đúng phần quà của mình”.

Câu 4

7,0 điểm

Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB > AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , bán kính $R$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ . Đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$ cắt $EF$ tại $N$ .

a)
Chứng minh tứ giác $BKNF$ nội tiếp và $\widehat{AKD} = \widehat{AHN}$ .
b)
Đường thẳng qua $C$ song song với $AB$ cắt đường thẳng $BE$ tại $M$ . Gọi $Q$ là giao điểm của $BC$ và $HK$ , đường thẳng $EF$ cắt $QM$ tại $P$ . Chứng minh $\Delta BPC$ vuông.
c)
Giả sử $A, C$ và đường tròn $(O)$ cố định, $AC < R\sqrt{3}$ , điểm $B$ di động trên cung lớn $AC$ . Xác định vị trí của điểm $B$ để tổng chu vi của các tam giác $\Delta AEF, \Delta BFD, \Delta CED$ lớn nhất.

Câu 5

1,0 điểm

Cho hai số thực $a$ và $b$ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) $a < b \le 420$ .

ii) Với mọi số thực $x, y, z$ thỏa mãn $a \le x \le b$ , $a \le y \le b$ , $a \le z \le b$ , ta luôn có

(x + y + z - 420)^2 \le \frac{1}{105}xyz.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = b - a$ .

Câu 6

1,0 điểm

Trên bảng có dãy số $1; 2; 3; \ldots; 2025$ ta thực hiện như sau: Nếu trên bảng có 4 số $a; b; c; d$ sao cho $d = a + b + c$ thì ta xóa 4 số đó và viết 3 số $a + b; b + c; c + a$ lên bảng. Giả sử tại một thời điểm trên bảng còn $n$ số: $a_1; a_2; \ldots; a_n$ . Chứng minh rằng $a_1^4 + a_2^4 + a_3^4 + \cdots + a_n^4 - 9$ chia hết cho $12$ và $n \ge 1520$ .