Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên Tin) năm 2025 — Sở GD&ĐT Hà Giang

Câu I

1,5 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{x\sqrt{x} + 5\sqrt{x} + 6}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 8}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2x + 10\sqrt{x} + 12}{x - \sqrt{x} - 6}$ với $x \ge 0, x \ne 9$ .

1)
Rút gọn biểu thức $A$ .
2)
Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $\dfrac{4}{A}$ nhận giá trị nguyên.

Câu II

1,0 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P)$ có phương trình $y = ax^{2}$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = bx - 1$ (với $a,b$ là các tham số). Tìm các số hữu tỉ $a,b$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là $x = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

Câu III

1,5 điểm

1)
Giải phương trình $\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0$ .
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} \sqrt{x + 1} + \sqrt{y^{2} + 4} + \sqrt{y} = 4 \\ 2\sqrt{xy^{2} + 4x + y^{2} + 4} - y + 4\sqrt{y} = 8 \end{cases}$ .

Câu IV

1,0 điểm

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2n - 1$ và $3n + 1$ là các số chính phương và $6n - 13$ là số nguyên tố.

Câu V

4,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ .

1)
Chứng minh $DA$ là tia phân giác của góc $EDF$ .
2)
Chứng minh $\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = 1$ .
3)
Gọi $M$ là giao điểm của tia $EF$ với đường tròn $(O)$ . Gọi $P, Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMF$ và tam giác $CME$ . Chứng minh $AM \perp PQ$ .
4)
Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác $ABC$ để biểu thức $\dfrac{(AB + BC + CA)^{2}}{AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu VI

1,0 điểm

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \ge 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2} + 1 + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + 1 + ac} + \dfrac{1}{ab(c^{3} + 1) + 1}$ .