Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Câu 1

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{(2\sqrt{3} - 1)\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}{\sqrt{29 + 12\sqrt{5}} - 2\sqrt{5}}$ .
2)
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $2xy = x + y$ . Chứng minh rằng:
1. a)
  $xy \geq 1$
2. b)
  $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} \geq \sqrt{(x - y)^{2} + 8}$

Câu 2

2,5 điểm

1)
Cho phương trình $x^{2} - (m + 1)x + m - 4 = 0$ (1), với $m$ là tham số.
1. a)
  Giải phương trình (1) với $m = 1$ .
2. b)
  Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn
  $\left(x_{1}^{2} - mx_{1} + m\right)\left(x_{2}^{2} - mx_{2} + m\right) = 2.$
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^{2} + 8y^{2} = 12 \\ x^{3} + 2xy^{2} + 12y = 0 \end{cases}$

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ đường kính $AD$ của $(O)$ ; $AD$ cắt $BC$ ở $E$ ; đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt $(O)$ ở $F$ khác $A$ . Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ trên $BC$ ; $FK$ cắt $(O)$ ở $I$ khác $F$ .

a)
Chứng minh rằng $FH = DK$ .
b)
Gọi $J$ là giao điểm của $AK$ và $EI$ . Chứng minh rằng $JE \cdot JI = JA \cdot JK$ .
c)
Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ ở $S$ . Chứng minh rằng $SD$ , $EI$ và $(O)$ cùng đi qua một điểm.

Câu 4

1,5 điểm

1)
Cho hai hộp đựng thẻ: hộp I gồm 5 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; hộp II gồm 5 thẻ được đánh số 6, 7, 8, 9, 10 (các thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ở mỗi hộp một thẻ, tính xác suất để tích hai số trên các thẻ rút được là số chẵn.
2)
Cho đa thức $f(x) = ax^{2} + bx + c$ . Mỗi lần thay đa thức này bởi một trong hai đa thức $cx^{2} + bx + a$ hoặc $(a + b + c)x^{2} + (2a + b)x + a$ . Nếu cho đa thức $f(x) = x^{2} + 4x + 3$ thì sau một số lần thay đổi có được đa thức $g(x) = x^{2} + 10x + 9$ không? Vì sao?

Câu 5

1,0 điểm

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:

a)
$A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$ .
b)
$A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $39p$ .