Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5} + \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-4} - \dfrac{8\sqrt{x}-14}{x+\sqrt{x}-20}$ .
b)
Cho phương trình $x^{2} + 2(m+5)x + m^{2} + m - 2 = 0$ ( $m$ là tham số thực). Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 144$ .

Câu 2

1,0 điểm

Cho đa thức $P(x) = x^{2n} + (2x+1)^{n}$ , với $n$ là số nguyên dương. Biết rằng, $P(x)$ chia hết cho đa thức $x+1$ . Chứng minh rằng, $P(2027) - 4$ chia hết cho $5$ .

Câu 3

1,0 điểm

Có một nhóm 6 người gồm An, Bình, Cường, Duyên, Mai, Nam. Nếu người này kết bạn với người kia thì 2 người đó là bạn của nhau. Trong nhóm này, An chỉ kết bạn với Nam và Bình; Cường chỉ kết bạn với Bình và Duyên; Mai chỉ kết bạn với Nam và Duyên. Trong 3 người Bình, Nam, Duyên mỗi người là bạn với đúng 2 người khác trong nhóm 6 người trên. Trong 3 người An, Cường, Mai không có 2 người nào là bạn của nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 người trong nhóm 6 người trên. Tính xác suất của biến cố $X$ : “2 người được chọn không là bạn của nhau”.

Câu 4

2,0 điểm

a)
Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $4a^{2} + b^{2} + c^{2} - 9 = 5ab + 2bc + 4ca$ . Chứng minh rằng, $ab+1$ và $ab+4a+2b-2c+10$ đều là các số chính phương.
b)
Chứng minh rằng, không tồn tại số nguyên $n$ để $n+2026$ và $n-2$ đều là lập phương của các số nguyên.

Câu 5

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ có $AB$ là một dây cung không đi qua tâm của đường tròn. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm $A, B$ cắt nhau tại điểm $M$ . Kẻ tia $Mx$ nằm giữa hai tia $MA, MO$ . Gọi $C$ và $D$ là giao điểm của tia $Mx$ với đường tròn $(O)$ sao cho điểm $C$ nằm giữa hai điểm $M$ và $D$ . Gọi $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$ .

a)
Chứng minh rằng, năm điểm $M, A, E, O, B$ cùng thuộc một đường tròn và $EM$ là tia phân giác của $\widehat{AEB}$ .
b)
Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $MO$ . Đường thẳng $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F$ ( $F \neq C$ ). Chứng minh rằng, $MC \cdot MD = MH \cdot MO$ và đường thẳng $DF$ song song với đường thẳng $AB$ .
c)
Đường thẳng $DF$ cắt các tia $MA, MB$ tương ứng tại các điểm $P, Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $EP$ và $AD$ ; $J$ là giao điểm của hai đường thẳng $EQ$ và $BD$ . Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $IJ$ . Chứng minh rằng, ba điểm $H, K, D$ thẳng hàng.

Câu 6

1,0 điểm

Xác định tất cả các tập hợp $X$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) Tập hợp $X$ có $2026$ phần tử. Các phần tử là các số thực dương. Tổng của tất cả các phần tử của tập hợp $X$ bằng $2027$ .

ii) Với hai phần tử phân biệt bất kỳ $a, b$ thuộc tập hợp $X$ thì có ít nhất một trong hai số $|a-b|$ , $a+b$ cũng thuộc tập hợp $X$ .

HẾT