Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Đồng Tháp

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức $A = \frac{x+3\sqrt{x}-10}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+3)} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} - \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}$ với $x \ge 0, x \ne 4$ .

1)
Rút gọn biểu thức $A$ .
2)
Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $A = 3$ .

Câu 2

3,0 điểm

1)
Bác An đi chợ mua trứng vịt muối hết 120 nghìn đồng. Người bán thấy trứng nhỏ nên đã chủ động cho thêm 4 quả trứng vịt muối. Do đó giá mỗi quả trứng đã giảm đi 1 nghìn đồng. Tìm số trứng vịt muối ban đầu bác An mua.
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 4(x - y) \\ \sqrt{x-2} - \sqrt{3y - x + 3} = 1 - x \end{cases}$

Câu 3

3,0 điểm

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = x + m^2 + 1$ ( $m$ là tham số).

1)
Chứng minh rằng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
2)
Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2 = 11$ .

Câu 4

2,0 điểm

Trong hộp gồm 100 lá thăm kích thước như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên một lá thăm trong hộp. Gọi $A$ và $B$ là hai biến cố thỏa $A$ : “Số ghi trên lá thăm chia hết cho 3” và $B$ : “Số ghi trên lá thăm vừa chia hết cho 3 vừa chia cho 5 dư 1”.

1)
Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ .
2)
Tính xác suất biến cố $B$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho $n$ là số nguyên dương và phương trình nghiệm nguyên $(2x - y)(x + y) = n$ .

1)
Giải phương trình với $n = 5$ .
2)
Tìm số nghiệm nguyên của phương trình khi $n = 630$ .

Câu 6

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn ( $AB < AC$ ) nội tiếp đường tròn $(O)$ . Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E, F$ (điểm $F$ thuộc cung nhỏ $BC$ ). Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $AF$ .

1)
Chứng minh rằng $FB^{2}=FD.FA$ .
2)
Đường tròn tâm $F$ bán kính $FB$ cắt $AF$ tại $I$ . Gọi $H$ (khác $E$ ) là giao điểm của $EI$ và $(O)$ , $T$ là giao điểm của $FH$ và $BC$ . Chứng minh rằng $\widehat{FBH}=\widehat{FTB}$ .
3)
Chứng minh rằng bốn điểm $A, D, H, T$ cùng thuộc một đường tròn và $\widehat{TIF}=90^{\circ}$ .

Câu 7

2,0 điểm

Một khu đất hình thang $AHKD$ có $\widehat{H}=\widehat{K}=90^{\circ}$ , $AH=1\text{km}$ , $DK=2,4\text{km}$ và $HK=4,8\text{km}$ . Người ta dự định thiết lập một đường bay cho drone như sau: xuất phát từ điểm $A$ bay theo đường gấp khúc $ABCD$ để đến $D$ . Trong đó $B$ và $C$ là hai điểm thay đổi thuộc đoạn thẳng $HK$ . Do địa hình phức tạp, vận tốc bay của drone trên các đoạn thẳng $AB$ , $CD$ và $BC$ lần lượt là $30\text{km/h}$ , $40\text{km/h}$ và $50\text{km/h}$ . (tham khảo hình vẽ)

Hình vẽ minh họa khu đất hình thang AHKD với AH và DK vuông góc với HK, B và C là hai điểm trên HK, các đoạn thẳng AB, BC, CD tạo thành đường gấp khúc ABCD và đường chéo AD được vẽ nét đứt

1)
Đặt $HB=x, CK=y$ . Hãy thiết lập công thức tính thời gian bay từ $A$ đến $D$ của drone theo $x, y$ .
2)
Tìm thời gian bay nhanh nhất của drone.