Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Tây Ninh

Thời gian: 150 phút
Số câu: 7 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\right) : \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ (với $x > 0, x \neq 4$ ).

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên dương.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Biết phương trình $x^2 - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A = \dfrac{1}{x_1^2 - 4x_1 + 5} + \dfrac{1}{x_2^2 - 4x_2 + 5}$ .
b)
Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định 3 sản phẩm mỗi ngày. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

Câu 3

1,0 điểm

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} xy + 2x = 2y^2 + 4y \\ 2\sqrt{2y+3} = x - y + 3 \end{cases}$ .

Câu 4

2,5 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn $(O)$ ( $B, C$ là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến $ADE$ của $(O)$ sao cho $D$ nằm giữa $A$ và $E$ , đồng thời tia $AE$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AO$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$ , $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$ .

a)
Chứng minh năm điểm $A, B, O, C, K$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AE$ và $BC$ . Chứng minh $AH \cdot AO = AI \cdot AK$ .
c)
Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $F$ . Chứng minh đường thẳng $BF$ song song với đường thẳng $AE$ .

Câu 5

1,0 điểm

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn phương trình sau:

$2x^2 - y^2 - xy + 3x = 6.$

Câu 6

1,0 điểm

a)
Cho $x, y > 0$ và $x + y \le 2$ . Chứng minh: $\frac{1}{2x+y} + \frac{1}{x+2y} \ge \frac{2}{3}$ .
b)
Cho $x > 0$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{2}{x+1} - \frac{9}{2(x+3)}$ .

Câu 7

1,0 điểm

Để kết nối giao thương sau khi sáp nhập hai tỉnh, người ta dự định xây dựng một tuyến đường cao tốc nối từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ của hai tỉnh đó. Tuyến đường này phải vượt qua một con sông. Giả sử đoạn sông chảy qua khu vực này có hai bờ song song với nhau và bề rộng mặt sông là 200 mét. Cây cầu bắc qua sông yêu cầu phải được thiết kế vuông góc với bờ sông (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng, khoảng cách từ thành phố $A$ đến bờ sông gần nhất là 62 km, khoảng cách từ thành phố $B$ đến bờ sông gần nhất là 70 km. Hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên cùng một bờ sông cách nhau 55 km. Giả sử người ta xây dựng được cây cầu tại vị trí phù hợp đảm bảo tuyến đường giao thông ngắn nhất đi từ $A$ đến $B$ (bao gồm hai đoạn đường bộ và chiều dài cây cầu). Hỏi tuyến đường đó dài bao nhiêu kilômét?

Sơ đồ mô tả tuyến đường từ thành phố A đến thành phố B qua cầu GH vuông góc với bờ sông, với AC = 62 km, BD = 70 km, GH = 0,2 km, ED = 55 km

HẾT