Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT An Giang

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{2x - \sqrt{x} + 2}{x - 4} + \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ với $x \ge 0, x \ne 4$ .

a)
Rút gọn biểu thức $A$ .
b)
Tìm $x$ sao cho $A > 1$ .

Câu 2

1,0 điểm

Giải phương trình $\dfrac{5x}{\sqrt{5x + 1} - 1} = x + 2$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho đa thức $f(x)$ có hệ số thực. Biết khi chia $f(x)$ cho $x - 4$ có dư là $10$ và khi chia $f(x)$ cho $x - 5$ có dư là $8$ . Khi chia $f(x)$ cho $(x - 4)(x - 5)$ được thương là $g(x)$ và có dư là $r(x)$ . Tìm $r(x)$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AB = 13\,cm, BC = 5\,cm$ . Một nửa đường tròn có đường kính nằm trên cạnh $AC$ , tiếp xúc với $BC$ tại $C$ và tiếp xúc với $AB$ (tham khảo hình bên). Tính diện tích phần tô đậm trong hình.

Tam giác ABC vuông tại C với nửa đường tròn có đường kính nằm trên AC, tiếp xúc với BC tại C và tiếp xúc với AB, phần tô đậm là phần nằm ngoài nửa đường tròn trong tam giác ABC

Câu 5

2,5 điểm

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $BC = 6\,cm$ . Gọi $H$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $OB$ ( $H$ không trùng với $O$ và $B$ ). Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $H$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $A$ . Gọi $G$ là trung điểm của $AC$ .

a)
Chứng minh rằng $A, G, O, H$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
b)
Gọi $D$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $HD = HA$ . Đường thẳng $DH$ cắt các đường thẳng $AB, AO$ lần lượt tại $E, I$ . Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $EC$ , $F$ là giao điểm $AO$ và $BD$ . Chứng minh rằng: $AE^{2} = 2.EI.HD$ và tam giác $AKE$ đồng dạng với tam giác $AFD$ .
c)
Gọi $BH = x$ . Tìm $x$ để diện tích của tứ giác $ABKC$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6

1,0 điểm

Cho số nguyên tố $p > 5$ . Chứng minh rằng $A = 6^{p} - 5^{p} - 1$ chia hết cho $5p$ .

Câu 7

1,0 điểm

Bên trong một đường tròn có bán kính bằng $11$ , cho $7$ điểm phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $2$ điểm trong $7$ điểm đó có khoảng cách nhỏ hơn $11$ .

Câu 8

0,5 điểm

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa $x.y.z = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = \frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^{3}}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^{3}}{(1 + y)(1 + z)}.