Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Sơn La

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{x+1}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x^3}-1}{x - \sqrt{x}} - \dfrac{x\sqrt{x}+1}{x + \sqrt{x}}$ với $x > 0; x \neq 1$ .

a)
Rút gọn biểu thức $A$ .
b)
Với những giá trị nào của $x$ thì biểu thức $P = \dfrac{6}{A}$ nhận giá trị nguyên?

Câu 2

1,0 điểm

Hai đội công nhân dệt may cần sản xuất một số lượng khẩu trang theo đơn đặt hàng. Nếu làm chung thì sau 4 giờ họ sẽ làm xong. Nhưng hai đội mới làm chung được 3 giờ thì đội I nghỉ, đội II tiếp tục làm trong 3 giờ nữa mới xong. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới xong công việc?

Câu 3

1,0 điểm

1)
Cho phương trình $x^2 - x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = 3x_1x_2^2 + x_1 + x_2(3x_1^2 + 1)$ .
2)
Ở một hội chợ thương mại, người ta dựng trên mặt sân một cái cổng có dạng parabol $y = ax^2$ (Hình 1). Biết cổng có chiều cao $OH = 6$ m và khoảng cách giữa hai chân cổng $AB = 4$ m. Người ta treo trên cổng một dây đèn trang trí $MN = 2$ m song song với $AB$ . Tính giá trị của $a$ và khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.
Hình 1

Câu 4

1,0 điểm

Một hộp chứa 8 thẻ được đánh số từ 1 đến 8. Rút ngẫu nhiên lần lượt hai thẻ từ hộp không hoàn lại. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a)
$A$ : “Tổng hai số ghi trên hai thẻ là một số chia hết cho 10”.
b)
$B$ : “Tích hai số ghi trên hai thẻ lớn hơn ba lần tổng của chúng đúng 1 đơn vị”.

Câu 5

4,0 điểm

1)
Một cơ sở sản xuất nến thơm thiết kế một mẫu quà tặng cao cấp. Mỗi bộ sản phẩm gồm một hộp nhựa hình trụ trong suốt và một viên nến thơm có dạng hình cầu được đặt vào bên trong hình trụ sao cho nằm vừa khít, tiếp xúc với mặt đáy và mặt xung quanh của hộp (Hình 2). Viên nến này có bán kính $R = 4$ cm.
Hình 2
1. a)
  Tính thể tích của hộp nhựa hình trụ và thể tích của viên nến hình cầu. (Lấy $\pi = 3,14$ và theo đơn vị $\text{cm}^3$ , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
2. b)
  Để cố định viên nến và trang trí, cơ sở sản xuất đổ đầy phần không gian trống giữa viên nến và hộp nhựa bằng các hạt sáp màu li ti. Biết mỗi $100 \text{ cm}^3$ hạt sáp màu có giá là $15\,000$ đồng. Tính chi phí tiền mua hạt sáp màu để sản xuất $500$ bộ quà tặng như trên. (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
2)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ . Kẻ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$ . Lấy $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ và $AM$ cắt $CD$ tại $E$ . Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với $(O)$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$ . Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $DN$ .
1. a)
  Chứng minh: Các điểm $M, N, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.
2. b)
  Chứng minh: $EN // CB$ và $AM \cdot BN = 2R^2$ .
3. c)
  Tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để diện tích tam giác $BNC$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6

1,0 điểm

1)
Một người thợ mộc tiện khối gỗ thành một hình trụ. Cắt hình trụ đó bởi một mặt phẳng chứa trục, ta được mặt cắt là một hình chữ nhật. Xét hình chữ nhật $ABCD$ được tạo bởi trục và một đường sinh của hình trụ (Hình 3). Biết chu vi của hình chữ nhật $ABCD$ bằng $12$ cm. Hỏi thể tích lớn nhất của khối gỗ hình trụ này có thể đạt được là bao nhiêu?
Hình 3
2)
Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.

HẾT