Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

1,5 điểm

1)
Một cái túi chứa 5 quả bóng giống nhau được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (mỗi quả bóng được đánh một số khác nhau). Bốc ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ túi (mỗi lần bốc một quả, quả bóng bốc lần đầu không được hoàn lại). Tính xác suất của biến cố A: “Hai số ghi trên hai quả bóng bốc được đều là số chẵn”.
2)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q, r$ sao cho $p < q < r$ và $pq + 25, pr + 100$ là những số chính phương.

Câu 2

2,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = \frac{1}{2}x^2$ có đồ thị $(P)$ . Gọi $A, B$ là các điểm thuộc $(P)$ có hoành độ lần lượt là $-2$ và $4$ . Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục tung sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất.
2)
Cho $a, b$ là hai số thực không âm và $c$ là số thực dương thỏa mãn đẳng thức $\frac{3c - 2b}{\sqrt{a} + \sqrt{a + 2b - 3c}} = \sqrt{2b} + \sqrt{3c}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{5b + 4a + 8bc - 2038c}{a - 2b + 2023c}$ .

Câu 3

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x + 3 = 2\sqrt{(3y - x)(y + 1)} \\ 4xy - 2x - 2y - 1 = \sqrt{10y + 1} \end{cases}$
2)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$ . Chứng minh rằng
$\frac{1}{a + bc} + \frac{1}{b + ca} + \frac{1}{c + ab} \ge \frac{7}{1 + abc}.$

Câu 4

3,5 điểm

1)
Một cốc thủy tinh dạng hình trụ được đặt thẳng đứng. Phía bên trong cốc có đường kính đáy bằng $8 \text{ cm}$ và diện tích xung quanh bằng $96\pi \text{ cm}^2$ .
1. a)
  Tính thể tích phần bên trong của cốc.
2. b)
  Một lượng nước được rót vào cốc sao cho độ cao của cột nước bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao thành bên trong cốc. Tính độ cao của cột nước trong cốc sau khi thả nhẹ một viên bi sắt dạng hình cầu, đường kính bằng $4$ cm vào trong cốc nước.
2)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $D, E, F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$ .
1. a)
  Chứng minh $H$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ .
2. b)
  Đường thẳng $AO$ lần lượt cắt $EF, BC$ và đường tròn $(O)$ tại $K, L, M$ ( $M$ khác $A$ ). Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt đường thẳng $AD$ tại $N$ . Chứng minh $NL//HK$ .
3. c)
  Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $T$ (khác $A$ ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFT$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm $P, Q$ . Chứng minh $CP = CQ$ .

Câu 5

1,0 điểm

Viết tất cả các hợp số không vượt quá 30 lên bảng.

a)
Có thể tô mỗi số trên bảng bởi một trong hai màu xanh, đỏ (cả hai màu đều được dùng) sao cho tích các số cùng màu bằng nhau được không? Tại sao?
b)
Có thể xóa đi 3 số trên bảng và tô mỗi số còn lại bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng (cả ba màu đều được dùng) sao cho tích các số cùng màu bằng nhau được không? Tại sao?

HẾT

Đăng nhập để làm bài