Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Câu 1

2,0 điểm

1)
Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{1}{1 - 2\sqrt{x} + x}$ khi $x = 20 - \sqrt[3]{\dfrac{32}{3\sqrt{3} - 5}} + \sqrt[3]{\dfrac{32}{3\sqrt{3} + 5}}$ .
2)
Cho hàm số bậc nhất $y = \dfrac{m}{3m - 2}x + \dfrac{m - 1}{3m - 2}$ ( $m$ là tham số) có đồ thị là đường thẳng $d$ . Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt các trục tọa độ $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$ sao cho $AB = \sqrt{2}$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $\dfrac{3x}{\sqrt{x + 4} + 2} - \dfrac{3x}{\sqrt{1 - x} + 1} + \dfrac{12x}{\sqrt{3x + 9} + 3} = x^{2} + 7x$ .
2)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} x^{2} + (x - 1)(y + 1) = 2y^{2} - 1 \\ x^{2} + y^{2} - 10 = 0 \end{cases}$

Câu 3

1,5 điểm

1)
Cho đa thức $P(x) = -x^{3} - 4x^{2} + 26x + d$ với $d$ là tham số thực. Tìm hai số thực phân biệt $m, n$ thỏa mãn $P(m) = P(n) = 0$ và tích $m.n$ nhỏ nhất.
2)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q, r$ thỏa mãn $(p + 1)(q + 2)(r + 3) = 4pqr$ .

Câu 4

3,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ , $\widehat{BAC} > 90^\circ$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ . Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $S$ . Gọi $M, I$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$ và $AH$ .
1. a)
  Chứng minh rằng $I$ là trực tâm tam giác $SAM$ .
2. b)
  Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AM$ với đường tròn đường kính $AH$ . Chứng minh rằng $SK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ .
2)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, lấy một điểm $P$ bất kỳ thuộc miền trong của tam giác. Chứng minh khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ điểm $P$ đến các đỉnh $A, B, C$ của tam giác không nhỏ hơn $2$ lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ điểm $P$ đến các cạnh của tam giác $ABC$ .
3)
Một vật dụng đựng mỹ phẩm được thiết kế gồm hai phần, phần thân là hình trụ có một đáy dưới là hình tròn với bán kính $r = 6$ cm, chiều cao $h = 5$ cm và phần nắp là một nửa hình cầu bán kính $r = 6$ cm (tham khảo hình vẽ). Người ta cần sơn mặt ngoài (bao gồm cả đáy) của vật dụng đó, tính diện tích cần sơn.

Câu 5

1,5 điểm

1)
Có hai tấm bia hình tròn I và II ngoài nhau gắn trên cùng một mặt phẳng. Tấm bia I được chia thành 4 hình quạt như nhau ghi số lần lượt từ 1 đến 4. Tấm bia II được chia thành 6 hình quạt như nhau ghi số lần lượt từ 1 đến 6. Trục quay của mỗi tấm bia được gắn mũi tên cố định ở tâm. Người ta thiết kế để khi quay hai tấm bia đến khi chúng dừng lại thì mũi tên gắn trên trục quay ở mỗi tấm bia chỉ thuộc ngẫu nhiên bên trong một hình quạt nào đó. Trong trò chơi “Vòng quay may mắn”, người chơi sẽ quay lần lượt hai tấm bia. Khi hai bia dừng lại, mũi tên của tấm bia I ở hình quạt ghi số $x$ , mũi tên của tấm bia II ở hình quạt ghi số $y$ . Người chơi sẽ nhận được quà nếu $x + y$ là một số nguyên tố. Tính xác suất để người chơi nhận được quà.
2)
Cho 29 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta muốn tô màu tất cả các đoạn thẳng nối giữa chúng, sao cho mỗi đoạn thẳng được tô bởi đúng 1 màu và không có tam giác nào có hai cạnh cùng màu. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu màu để tô được như vậy?
3)
Cho các số thực $a, b, c$ thay đổi và thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge 4 + 3abc$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của

$T = a + b + c + \sqrt{2}\left(|a - b| + |b - c| + |c - a|\right).$