Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

1)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 125. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Số được chọn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp”.
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn đồng thời $a + b + c = 0$ và $a^2 + c^2 - 4bc - 2b + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $M = abc$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn tồn tại các số nguyên dương $a, b, c$ sao cho $n = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 + 1}{abc}$ . Chứng minh $n$ chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.
2)
Tìm tất cả cặp số tự nhiên $(x; y)$ thỏa mãn $\dfrac{x^3 + 3}{x + 2} = \dfrac{4y^2}{2y + 1}$ .

Câu III

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(n; p)$ thỏa mãn đồng thời $p$ là số nguyên tố và $4n^2 + p^3 + 4p^2 - 8p - 32$ chia hết cho $np + 4n$ .
2)
Với $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c = 2$ , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{bc + 2a + 1}{a^2 + 1} + \dfrac{ca + 2b + 1}{b^2 + 1} + \dfrac{ab + 2c + 1}{c^2 + 1}$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$ , có đường cao $AH$ . Lấy điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AH$ sao cho $OH > OA$ . Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$ tại điểm thứ hai $T$ . Lấy điểm $E$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AE > AT$ . Đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $A, E, N, C$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
Đường thẳng qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ tại điểm $K$ . Gọi $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $ET$ . Chứng minh $\widehat{OFK} = 90^\circ$ .
3)
Chứng minh đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$ , đường tròn đường kính $NK$ và đường thẳng $TK$ cùng đi qua một điểm.

Câu V

1,0 điểm

Xét số nguyên dương $n$ và tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) $a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n = 2000$ .

ii) Với mọi số tự nhiên $k$ , $2 \le k \le n$ , tồn tại các số nguyên dương $i, j$ nhỏ hơn $k$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $a_k = a_i + 4a_j$ .

1)
Chứng minh tất cả các phần tử của tập hợp $S$ đều là số chẵn.
2)
Tìm giá trị lớn nhất của $n$ .