Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Khánh Hòa

Câu 1

2,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{x}{x - 2\sqrt{x}} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{8}{x - 4}$ , với $x \geq 0, x \neq 4$ .
b)
Cho đa thức bậc ba $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với hệ số nguyên. Biết $P(\sqrt{5}) = 5$ và $P(\sqrt[3]{5}) = 5\sqrt[3]{5}$ . Tính $P(1)$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{x^2 + 12} + 5 = 3x + \sqrt{x^2 + 5}$ .
b)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích xác định. Nếu tăng chiều dài thêm $3\text{ m}$ và tăng chiều rộng $2\text{ m}$ thì diện tích tăng thêm $141\text{ m}^2$ . Nếu giảm chiều dài $4\text{ m}$ và giảm chiều rộng $5\text{ m}$ thì diện tích giảm đi $230\text{ m}^2$ . Tính diện tích của mảnh vườn.

Câu 3

1,5 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số $(m, p)$ với $m$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức $p^2 + pm = m^3$ .
b)
Tìm số tự nhiên $a$ để $(a^2 - 8)^2 + 36$ là số nguyên tố.

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A, B$ cố định nằm trên đường tròn, $AB$ không là đường kính. Điểm $C$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn và $CA < CB$ . Điểm $D$ là hình chiếu của $C$ trên đường thẳng $AB$ . Kẻ đường kính $CI$ của đường tròn $(O)$ , đường thẳng qua $B$ vuông góc với $CI$ cắt $CI$ tại $E$ .

a)
Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp.
b)
Chứng minh $CD \cdot CI = CA \cdot CB$ và $DE$ song song với $AI$ .
c)
Gọi $F$ là hình chiếu của điểm $A$ trên $CI$ . Chứng minh khi điểm $C$ di động thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DEF$ là một điểm cố định.

Câu 5

1,5 điểm

a)
Cho tập hợp $X$ gồm $2026$ số nguyên tùy ý. Chứng minh tồn tại một tập hợp $T$ là tập hợp con của tập hợp $X$ sao cho tổng các phần tử của tập hợp $T$ chia hết cho $2026$ .
b)
Cho $3$ số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc = 1$ . Chứng minh $(1 + a)^2(1 + b)^3(1 + c)^4 > 256$ .