Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Hưng Yên

Câu I

2,0 điểm

Cho biểu thức $M = \left(\dfrac{1}{x - 4} + \dfrac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8}\right)\left(\dfrac{x + 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} - 2\right)$ .

1)
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức $M$ .
2)
Đặt $N = M.(9x - 2\sqrt{x} + 4)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d): y = x + m$ và parabol $(P): y = 2x^2$ . Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thỏa mãn $(2x_1^2 - x_2 - m)^2 + (2x_2^2 - x_1 - m)^2 = 4$ .
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^3 + x^2 - xy^2 = 2\sqrt{(x - y^2)^3} \\ 56x^2 + 20(x^2 - y^2) = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2 \end{cases}.$

Câu III

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả nghiệm nguyên $(x; y)$ của phương trình

$(x^2 + 3)y^2 - (x - 2y)(x + 2y + 1) = 25x + 2y + 169.$
2)
Một thùng có 40 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau, trong đó có một số quả bóng màu đỏ, một số quả bóng màu xanh, còn lại là những quả bóng màu khác. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Xác suất để lấy được quả bóng màu đỏ là $\dfrac{3}{10}$ , xác suất để lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{3}{8}$ . Tìm số quả bóng có màu khác màu đỏ và màu xanh.

Câu IV

1,0 điểm

Cho hình chữ nhật $ABCD$ , có $AB = 9cm, BC = 6cm$ . Gọi $K$ là trung điểm của $AD$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $H$ sao cho $AH = 2cm$ . Tính $\cos \widehat{HCK}$ .

Câu V

2,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $I$ cố định nằm trên đường tròn $(O; R)$ . Gọi $A, B$ là các giao điểm của hai đường tròn $(O; R)$ và $(I; R)$ , $P$ là điểm thay đổi trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(I; R)$ . Đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $IP$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại $M, N$ . Kẻ $PH$ vuông góc với $IM$ tại $H$ , $PK$ vuông góc với $IN$ tại $K$ .

1)
Chứng minh rằng bốn điểm $I, H, P, K$ cùng thuộc một đường tròn và $HK$ vuông góc với $OI$ .
2)
Khi $P$ thay đổi trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(I; R)$ , tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IHK$ .

Câu VI

1,0 điểm

Cho các số thực dương $x, y, z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \dfrac{\sqrt{2x^2 + 2xy + y^2}}{x + 2y} + \dfrac{\sqrt{2y^2 + 2yz + z^2}}{y + 2z} + \dfrac{\sqrt{2z^2 + 2zx + x^2}}{z + 2x}.$