Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Bắc GiangMã đề 101

Thời gian: 150 phút
Số câu: 24 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu · 6,0 điểm

Phần II. Tự luận — 4 câu · 14,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Trên đường thẳng $a$ lấy 2 điểm phân biệt $A_1, A_2$ ; trên đường thẳng $b$ lấy 4 điểm phân biệt $B_1, B_2, B_3, B_4$ . Lấy ngẫu nhiên 3 điểm từ 6 điểm $A_1, A_2, B_1, B_2, B_3, B_4$ . Xác suất để chọn được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác bằng

A
$\displaystyle \frac{3}{5}$
B
$\displaystyle \frac{7}{10}$
C
$\displaystyle \frac{3}{4}$
D
$\displaystyle \frac{4}{5}$

Câu 2

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{16-x} + \sqrt{9+x} > 5$ là

A
$\displaystyle 23$
B
$\displaystyle 26$
C
$\displaystyle 24$
D
$\displaystyle 27$

Câu 3

Một quả bóng đá làm bằng da có dạng hình cầu với đường kính $24cm$ (hình vẽ). Công ty A cần sản xuất 100 quả bóng để đưa ra thị trường trong dịp hè năm 2025. Công ty A cần chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu $m^2$ da để sản xuất số quả bóng trên? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, giả sử diện tích các phần mép nối bằng không, lấy $\pi = 3,14$ ).

A
$\displaystyle 5m^2$
B
$\displaystyle 181m^2$
C
$\displaystyle 45m^2$
D
$\displaystyle 18m^2$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AB = 3$ , $AC = 4$ . Gọi $r, R$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tỉ số $\frac{r}{R}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{1}{2}$
B
$\displaystyle \frac{2}{5}$
C
$\displaystyle \frac{2}{3}$
D
$\displaystyle \frac{3}{5}$

Câu 5

Cho đường tròn $(O;6)$ và hai điểm $A, B$ sao cho $OA = 18$ , $OB = 24$ , $AB = 30$ . Điểm $M$ thay đổi thuộc $(O;6)$ , giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA + 3MB$ bằng

A
$\displaystyle 9\sqrt{577}$
B
$\displaystyle 3\sqrt{577}$
C
$\displaystyle 2\sqrt{145}$
D
$\displaystyle 6\sqrt{145}$

Câu 6

Một cái cốc thủy tinh có dạng hình trụ có chiều cao $9cm$ , miệng cốc có đường kính ngoài bằng $5cm$ , thành cốc có độ dày $0,5cm$ , đáy cốc có độ dày $1cm$ (tham khảo hình vẽ). Hỏi cần bao nhiêu $cm^3$ thủy tinh để làm cái cốc đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy $\pi = 3,14$ )

A
$\displaystyle 58cm^3$
B
$\displaystyle 81cm^3$
C
$\displaystyle 76cm^3$
D
$\displaystyle 75cm^3$

Câu 7

Một mô hình đồ chơi hình nón có chiều cao $20 cm$ bên trong đựng một lượng chất lỏng, nếu để mô hình hình nón có đáy ở phía trên và đỉnh ở phía dưới (Hình 1) thì phần chất lỏng có độ cao là $10 cm$ . Nếu để mô hình hình nón có đáy ở phía dưới và đỉnh ở trên (Hình 2) thì phần chất lỏng trong mô hình có độ cao bằng bao nhiêu $cm$ ? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình 1: mô hình hình nón đỉnh ở dưới, chiều cao 20 cm, chất lỏng cao 10 cm — Hình 1

Hình 2: mô hình hình nón đỉnh ở trên chứa chất lỏng — Hình 2

A
$\displaystyle 0,87 cm$
B
$\displaystyle 1,07 cm$
C
$\displaystyle 5,01 cm$
D
$\displaystyle 2,78 cm$

Câu 8

Số giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $\sqrt{2026 - 2x + 2\sqrt{2025 - 2x}} - \sqrt{1 + 2x}$ xác định là

A
$\displaystyle 2025$
B
$\displaystyle 2026$
C
$\displaystyle 1012$
D
$\displaystyle 1013$

Câu 9

Một trạm biến áp đặt tại vị trí $A$ trên bờ biển $AK$ . Một công ty điện lực thi công đường dây điện từ trạm biến áp $A$ đến đảo $C$ ở ngoài biển. Biết chi phí mỗi kilomet $(km)$ đường dây trên bờ biển là $30$ triệu đồng, mỗi $km$ đường dây ngoài biển là $50$ triệu đồng. Công ty điện lực thi công đường dây điện từ $A$ đến $B$ trên bờ biển và từ $B$ đến đảo $C$ với tổng chi phí là $500$ triệu đồng. Biết $AK = 12 km$ , $CK = 6 km$ , $\widehat{CKB} = 60^{\circ}$ $(AB > BK)$ . Tính khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ theo đơn vị $km$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Sơ đồ bờ biển AK = 12 km, đảo C cách K 6 km, góc CKB = 60°

A
$\displaystyle 7,8 km$
B
$\displaystyle 7,9 km$
C
$\displaystyle 7,6 km$
D
$\displaystyle 7,7 km$

Câu 10

Có hai hộp đựng các tấm thẻ: hộp thứ nhất đựng $4$ tấm thẻ ghi số từ $1$ đến $4$ ; hộp thứ hai đựng $6$ tấm thẻ ghi số từ $1$ đến $6$ . Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một tấm thẻ. Xác suất để tích hai số ghi trên $2$ tấm thẻ được lấy ra bằng $12$ là

A
$\displaystyle \frac{1}{8}$
B
$\displaystyle \frac{3}{4}$
C
$\displaystyle \frac{2}{5}$
D
$\displaystyle \frac{1}{10}$

Câu 11

Một nhóm $5$ học sinh gồm có $3$ học sinh nữ và $2$ học sinh nam. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên $3$ học sinh từ $5$ học sinh đó để làm nhiệm vụ trực nhật lớp. Xác suất để $3$ học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nam bằng

A
$\displaystyle \frac{9}{10}$
B
$\displaystyle \frac{1}{5}$
C
$\displaystyle \frac{7}{10}$
D
$\displaystyle \frac{2}{5}$

Câu 12

Một vòi nước chảy với lưu lượng không đổi vào một bể có chứa sẵn $5 m^3$ nước. Biết rằng sau $2$ giờ kể từ khi vòi nước bắt đầu chảy người ta đo được lượng nước trong bể là $17 m^3$ . Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi vòi nước bắt đầu chảy thì lượng nước trong bể là $44 m^3$ ?

A
$6$ giờ
B
$5$ giờ
C
$6,5$ giờ
D
$5,5$ giờ

Câu 13

Cho phương trình $2x^2 - (m - 1)x + m - 11 = 0$ (). Biết phương trình () có một nghiệm bằng $2$ , nghiệm còn lại của phương trình (*) là

A
$\displaystyle x = \frac{1}{3}$
B
$\displaystyle x = -3$
C
$\displaystyle x = \frac{-1}{3}$
D
$\displaystyle x = 3$

Câu 14

Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 2m - 3 \\ 2x + 5y = 13m + 12 \end{cases}$ ( $m$ là tham số). Tích các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x_o; y_o)$ thỏa mãn $x_o^2 + y_o = 50$ bằng

A
$\displaystyle -21$
B
$\displaystyle -37$
C
$\displaystyle 37$
D
$\displaystyle 21$

Câu 15

Biết hệ phương trình $\begin{cases} 2\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - y} = 15 \\ \sqrt{x - 1} - 3\sqrt{x - y} = 4 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $(x_o; y_o)$ . Ta có $x_o + y_o$ bằng

A
$\displaystyle 15$
B
$\displaystyle 99$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 50$

Câu 16

Cho hình lục giác đều $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $A_1A_2, A_2A_3$ và $MN = 6$ . Độ dài cạnh của hình lục giác đều $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ bằng

Hình lục giác đều $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ với $M$ là trung điểm $A_1A_2$, $N$ là trung điểm $A_2A_3$ và $MN = 6$

A
$\displaystyle 5\sqrt{3}$
B
$\displaystyle 5\sqrt{2}$
C
$\displaystyle 4\sqrt{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{13}{2}$

Câu 17

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Xác suất để chọn được số chia hết cho cả $4$ và $6$ là

A
$\displaystyle \dfrac{2}{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{7}{90}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{10}$
D
$\displaystyle \dfrac{4}{45}$

Câu 18

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = x + m - 2$ ( $m$ là tham số). Nếu đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho hoành độ điểm $A$ bằng $-3$ thì độ dài đoạn thẳng $OB$ ( $O$ là gốc tọa độ) bằng

A
$\displaystyle 4\sqrt{17}$
B
$\displaystyle 5\sqrt{10}$
C
$\displaystyle 2\sqrt{5}$
D
$\displaystyle 3\sqrt{10}$

Câu 19

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xác suất để hai lần gieo có số chấm bằng nhau là

A
$\displaystyle \dfrac{1}{12}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{5}{6}$

Câu 20

Cho một tấm nhôm hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $20\,cm$ . Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật $MNPQ$ .

Tam giác đều $ABC$ với hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp có $M, N$ thuộc $BC$, $Q$ thuộc $AB$, $P$ thuộc $AC$

Đặt $BM = x\,(cm)$ . Diện tích của hình chữ nhật $MNPQ$ đạt giá trị lớn nhất khi $x$ bằng

A
$\displaystyle 5,5\,cm$
B
$\displaystyle 5\,cm$
C
$\displaystyle 4\,cm$
D
$\displaystyle 2,5\,cm$

Phần II. Tự luận14,0 điểm

Câu 1

5,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức $P=\left(\frac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right):\frac{x-1}{x^2+x+1}$ với $x \ge 0$ và $x \neq 1$ .
b)
Cho parabol $(P): y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=2x+m-1$ , với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng $2x+4y-2025=0$ .
c)
Giải phương trình $\sqrt{x^2-4}-\sqrt{4x^2+9x+2}=(15-3x)\sqrt{x+2}$ .

Câu 2

4,0 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^3y+xy^3+2x^2y^2-8x-8y+16=0$ .
b)
Cho $P(x)$ là đa thức với các hệ số nguyên thỏa mãn: $P(a)=22$ , $P(b)=23$ , $P(c)=24$ , $P(d)=25$ với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ , $a<b<c<d$ và $a+b+c+d=26$ . Tính $P(7)$ .
c)
Tìm tất cả các số nguyên tố $q$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để $n^2+136q$ là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của $17$ .

Câu 3

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Các điểm $E, F$ thay đổi lần lượt thuộc các cạnh $AB, AC$ sao cho $EF // BC$ . Gọi $D$ là giao điểm của $BF$ và $CE$ , $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF$ . Đường tròn $(I)$ đường kính $EF$ cắt $BF$ tại $M$ , cắt $CE$ tại $N$ ( $M$ khác $F$ , $N$ khác $E$ ).

a)
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$ đi qua điểm $I$ .
b)
Gọi $K, L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $E, F$ lên $BC$ và $P, Q$ tương ứng là giao điểm của $EM, FN$ với $BC$ . Chứng minh $\frac{BP \cdot BL}{CQ \cdot CK}$ không đổi khi $E, F$ thay đổi.
c)
Chứng minh nếu $EL$ và $FK$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn $(I)$ thì $EM$ và $FN$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng $BC$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2025abc$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\frac{a}{3a^2+2b^2+c^2}+\frac{b}{3b^2+2c^2+a^2}+\frac{c}{3c^2+2a^2+b^2}$ .

HẾT