Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho các số thực $a, b$ $(a \neq -2, b \neq -2)$ , thỏa mãn $ab + a + b = 0$ .

Tính giá trị biểu thức $A = \dfrac{(a+1)^2}{a^2 + 2a + b + 2} + \dfrac{(b+1)^2}{b^2 + 2b + a + 2}$ .
b)
Thầy giáo có 12 câu hỏi khác nhau dùng để kiểm tra vấn đáp, trong đó có 5 câu hỏi ở mức độ nhận biết, 4 câu hỏi ở mức độ thông hiểu và 3 câu hỏi ở mức độ vận dụng. Một học sinh được chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 câu hỏi trong số 12 câu hỏi trên để thực hiện kiểm tra. Tính xác suất để 2 câu hỏi học sinh đó chọn được thuộc hai mức độ khác nhau.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^2 + x\sqrt{x^2 - 5x - 2} = -1$ .
b)
Giải hệ phương trình
$xy^2 + x^2 - y^3 - yx + y^2 + x = 0 \\ \sqrt{8x - y^2} = 3y - 2x - 6 \end{cases}$$$

Câu 3

2,0 điểm

a)
Tìm các số tự nhiên $x, y$ thoả mãn $y^3 + 3y^2 + 3y + x^2 - 6x = 23$ .
b)
Tìm các số nguyên tố $p, q$ với $p < q$ thoả mãn số $A = 2(p^2 + 1)(5q^2 + 29)$ có thể viết được dưới dạng tích của từ hai số nguyên liên tiếp trở lên.

Câu 4

3,5 điểm

Cho đường tròn $(O)$ , đường kính $BC$ (điểm $O$ là tâm của đường tròn). Điểm $A$ thay đổi thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $AB \leq AC$ và $A$ khác $B$ . Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $BC$ . Điểm $D$ là điểm đối xứng với $H$ qua $C$ , điểm $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $A$ . Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt các đường thẳng $EB$ , $ED$ lần lượt tại $M$ và $N$ .

a)
Chứng minh $A$ là trực tâm tam giác $BED$ .
b)
Chứng minh $M$ thuộc đường tròn $(O)$ .
c)
Khi điểm $A$ thay đổi và thoả mãn các giả thiết của bài toán, tìm vị trí điểm $A$ để $AM.AN$ lớn nhất.

Câu 5

0,5 điểm

Bạn Bình có 18 thẻ gỗ, mỗi thẻ được đánh một số bất kì từ 1 đến 2.526 (mỗi số trên mỗi thẻ là một số tự nhiên). Chứng minh rằng bạn Bình có thể chọn ra 3 thẻ sao cho ba số trên 3 thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác.

HẾT