Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $\frac{2x+y}{3}=\frac{2y+z}{4}=\frac{2z+x}{5}$ . Chứng minh $x+y=z$ .
b)
Cho $a, b$ là các số thực dương khác nhau thỏa mãn $a-b=\sqrt{2025-b^{2}}-\sqrt{2025-a^{2}}$ . Tính giá trị biểu thức $A=a^{2}+b^{2}$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho $p$ là một số nguyên tố; $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ và $a+b$ chia hết cho $p$ . Chứng minh $\frac{a+b}{p}=4$ .
b)
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n \geq 100$ sao cho $2^{n}+3^{n}+6^{n}-1$ chia hết cho $2026$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=\sqrt{9+2x}$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị $m$ nguyên để phương trình $x^{2}-2(m-3)x+m^{2}-4m-6=0$ ( $m$ là tham số) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho $P=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4}{x_{1}+x_{2}}$ nhận giá trị nguyên.

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ cố định, $d$ và $(O)$ không có điểm chung. Điểm $M$ di động trên $d$ . Vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với $(O)$ ( $A, B$ là các tiếp điểm), đoạn thẳng $MO$ cắt $AB$ tại $H$ . Đường thẳng $a$ đi qua $M$ cắt $(O)$ tại $C, D$ ( $MC < MD$ ).

a)
Chứng minh $MH.MO=MC.MD$ .
b)
Chứng minh điểm $H$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi $M$ di động trên $d$ .
c)
Vẽ đường thẳng $b$ (khác $a$ ) đi qua $M$ , cắt $(O)$ tại $E, F$ ( $ME < MF$ ). Chứng minh rằng $DE, CF, AB$ đồng quy.

Câu 5

1,0 điểm

An có 10 hộp đựng bi, mỗi hộp có 3 viên bi. Các viên bi được tô bởi một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu; sao cho các viên bi trong cùng hộp có màu khác nhau và không có 2 hộp nào có 3 màu bi tương ứng giống nhau.

An nói rằng mình muốn lấy ra từ mỗi hộp 1 viên bi. Bình nghe thấy thế khẳng định: Sau khi An lấy bi, chắc chắn sau đó sẽ có 2 hộp bi mà 2 viên bi còn lại trong mỗi hộp có màu tương ứng giống nhau. Theo em, Bình nói đúng hay sai? Em hãy giải thích khẳng định của mình.