Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT TP HCM

Với $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $(a + b)(a - b) = 1$. Tính giá trị của biểu thức

$P = \sqrt{(4a + 5)^2 + (3b)^2} - \sqrt{(4a - 5)^2 + (3b)^2}.$

Biết $a, b$ là hai nghiệm thực của phương trình $x^2 - 4x + c = 0$ và $-a$ là một nghiệm thực của phương trình $11x^2 - x + 2c = 0$ với $c$ là một số thực khác $0$. Tính giá trị của biểu thức $a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}$.

Một ô tô và một xe tải chuyển động cùng tốc độ không đổi $a (km/h)$ dọc theo hai con đường giao nhau hướng đến giao lộ $(a > 0)$. Biết rằng vào các thời điểm $14$ giờ và $15$ giờ cùng ngày, khoảng cách từ ô tô đến giao lộ đều gấp đôi khoảng cách từ xe tải đến giao lộ. Hỏi xe tải đến giao lộ lúc mấy giờ?

Anh Hà dự định làm một cái máng nước có dạng hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang cân từ một miếng tôn có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với chiều dài $2 (m)$ và chiều rộng $1 (m)$. Anh Hà thực hiện làm máng nước bằng cách gấp đều hai bên chiều rộng $AB$ của miếng tôn, mỗi bên $x (m)$, lên một góc $60^{\circ}$ như hình vẽ. Tìm $x$ để hình thang cân $EFGH$ có diện tích lớn nhất?

Chứng minh rằng $\widehat{AKE} = \widehat{AMB}$ và ba điểm $A, K, D$ thẳng hàng.

Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $QB.DC = QC.DB$.

Tìm hai số đẹp có hai chữ số và chia hết cho $11$.

Chứng minh rằng nếu $n$ là số đẹp và $n$ chia hết cho $11$ thì $\dfrac{n}{11}$ cũng là số đẹp.

Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $100$. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên $a$ thuộc tập $S$. Tính xác suất sao cho số $a$ được chọn thỏa mãn các nghiệm của phương trình $x^2 - ax + 2a + 10 = 0$ đều là số nguyên.

Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; \ldots; 100\}$ và tập hợp $B$ là tập hợp con chứa $11$ phần tử của tập hợp $A$. Chứng minh rằng tập hợp $B$ luôn chứa ba số $a, b, c$ phân biệt sao cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.