Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Thái Bình

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho biểu thức $A = \dfrac{x - 3\sqrt{x}}{x + 3\sqrt{x}} + \dfrac{x + 5\sqrt{x} + 12}{\sqrt{x} + 3}$ (điều kiện $x > 0$ ). Tìm $x$ để $A = 2x$ .
2)
Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a \ge 2025, b \ge 2025$ và $2025(a + b) = ab$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \sqrt{a - 2025} + \sqrt{b - 2025} - \dfrac{1}{45}\sqrt{ab}$ .

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} x^2 + x + y = xy + 2 \\ 2x + \sqrt{3y - 8} + \sqrt{y + 1} = 5 \end{cases}$
2)
Một sân trường hình chữ nhật $ABCD$ (hình minh họa bên). Nhà trường muốn thiết kế hai nhà vệ sinh dành cho giáo viên và học sinh ở hai vị trí $E$ và $B$ sao cho $AE = 40m, DE = 10m, AB = 80m$ . Trên cạnh $CD$ người ta muốn chọn một vị trí $F$ để khoan giếng cấp nước cho hai nhà vệ sinh. Hỏi tổng đoạn đường ống nước ngắn nhất từ giếng khoan đến hai nhà vệ sinh là bao nhiêu mét?

3,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Kẻ các đường cao $AD, BE, CF$ ( $D, E, F$ là chân các đường cao) cắt nhau tại điểm $H$ . Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P, Q$ ( $F$ nằm giữa $P$ và $E$ ), đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại điểm $M$ .
1. a)
  Chứng minh: $MP.MQ = ME.MF$ .
2. b)
  Gọi $N$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $BC$ . Chứng minh: $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ .
3. c)
  Đường thẳng đi qua $H$ , song song với $AB$ và cắt $AC$ tại điểm $X$ . Đường thẳng đi qua $H$ , song song với $AC$ và cắt $AB$ tại điểm $Y$ . Chứng minh: Đường trung trực của đoạn thẳng $XY$ đi qua điểm $O$ .
2)
Một Logo như hình vẽ bên. Phần tô đậm là giao của các cặp hình tròn ngoại tiếp các tam giác: $\Delta ABG, \Delta ACG$ và $\Delta BCG$ . Tính diện tích phần tô đậm (theo đơn vị $cm^2$ ), biết rằng tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $20$ cm, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (lấy $\pi = 3,14$ , kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: $3x^2 - y^2 - 2xy - 2x - 2y + 8 = 0$ .
2)
Cho số nguyên dương $n$ và biểu thức $A = 1^2 + 2^2 + ... + n^2$ . Chứng minh: $3A$ chia hết cho $2n + 1$ và $\dfrac{24A + 2n + 1}{2n + 1}$ là một số chính phương.

1,0 điểm

1)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca = 3abc$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P = \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b + c}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c + a}{c^2 + ca + a^2}.$
2)
Cho đa giác đều $2025$ cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.