Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Ninh Bình

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho $a, b, c$ là các số thực khác $0$ thoả mãn $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a}{b}(c + a) + \dfrac{b}{c}(a + b) + \dfrac{c}{a}(b + c)$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} (3xy - 2)^{2} + 4x^{2} = 5y^{2} \\ 2x^{2} - 3xy^{2} = y(y - 2) \end{cases}$

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho phương trình $x^{2} - 6mx + 18m - 9 = 0$ (1) ( $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn: $(x_{1}^{2} - 4mx_{1} + 18m - 6)(2mx_{2} + 3) = 2m + 9.$
b)
Cho các số thực $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 4$ và $0 \le a, b, c \le 3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2a^{2} + b^{2} + 3c^{2} - 2b - 13c$ .

Câu 3

1,5 điểm

a)
Tìm tất cả các số nguyên $m$ để $A = m^{3} + 6m^{2} + 11m + 6$ là một số chính phương.
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thoả mãn $x + y^{2} + 1$ chia hết cho $xy$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$ nhọn, không cân và có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ . Gọi $M, N, I$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, EF, AH$ . Các đường thẳng $AH, BC$ theo thứ tự cắt đường thẳng $EF$ tại $J, S$ .

a)
Chứng minh rằng $SB.SC = SE.SF = SJ.SN$ .
b)
Chứng minh rằng $J$ là trực tâm của tam giác $IBC$ .
c)
Gọi $P$ là điểm đối xứng của $N$ qua $BC$ . Chứng minh rằng $\widehat{BIP} = \widehat{CIM}$ .

Câu 5

1,5 điểm

Cho đa giác đều $(H)$ có $2026$ đỉnh.

a)
Có bao nhiêu tam giác vuông mà các đỉnh là đỉnh của đa giác $(H)$ ?
b)
Tại mỗi đỉnh của đa giác $(H)$ , người ta viết một số nguyên dương không vượt quá $1012$ . Chứng minh rằng tồn tại bốn đỉnh $A, B, C, D$ của đa giác $(H)$ , sao cho $ABCD$ là một hình chữ nhật và $a + b = c + d$ trong đó $a, b, c, d$ tương ứng là các số được viết tại các đỉnh $A, B, C, D$ .