Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) lần 1 năm 2025 — Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{9 - 2x^2} + \sqrt[3]{x^2 + 4} = 3$ .
b)
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $4x^2 + y^2 = 32z^2$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} \ge 0$ .

Câu 2

1,0 điểm

Tồn tại hay không một tập hợp $A$ khác rỗng, là tập con của tập các số tự nhiên và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau?

o Với hai số tự nhiên phân biệt bất kỳ mà có tổng là số chẵn thì ít nhất một trong hai số đó thuộc tập hợp $A$ .

o Với hai số tự nhiên phân biệt bất kỳ mà có tổng là số lẻ thì ít nhất một trong hai số đó không thuộc tập hợp $A$ .

Câu 3

1,0 điểm

Một rô-bốt di chuyển trên một bảng gồm 7 ô được đánh số từ 1 đến 7 như hình vẽ sau.

Bảng gồm 7 ô được đánh số từ 1 đến 7, ô số 1 và ô số 7 có kẹo, rô-bốt đứng ở ô số 4

Ban đầu, rô-bốt đứng ở ô số 4. Mỗi bước, nó có thể nhảy sang trái hoặc sang phải, mỗi hướng có xác suất bằng nhau, và mỗi lần nhảy chỉ di chuyển đúng một ô. Tại ô số 1 và ô số 7 có đặt kẹo, và khi rô-bốt đến một trong hai ô này, nó lấy kẹo và dừng lại. Tính xác suất để rô-bốt lấy kẹo sau đúng 3 bước.

Câu 4

3,0 điểm

a)
Cho $a, b$ là hai số nguyên trái dấu. Biết rằng phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm nguyên và phương trình $x^2 + bx + a = 0$ có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $a + b = -1$ .
b)
Tìm số nguyên $z$ và các số hữu tỷ $x, y$ thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{\sqrt{2x}} - 1 = 1 - \sqrt{\frac{3}{y}} = \frac{z}{x + y}$ .

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , gọi $AH, AD$ lần lượt là đường cao và đường phân giác trong góc $A$ ( $H, D \in BC$ ). Gọi $M$ là giao điểm của $AO$ và $BC$ . Đường trung trực của đoạn thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $E, F$ . Chứng minh rằng

a)
Trực tâm của tam giác $DEF$ thuộc $(O)$ .
b)
Bốn điểm $H, E, F, M$ cùng thuộc một đường tròn.

HẾT