Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Đồng Nai

Rút gọn biểu thức $P = \left(\dfrac{x\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} - 2} - 2\sqrt{x}\right) : \left(\sqrt{x} - \dfrac{5\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 5}\right)$ (với $0 \le x \ne 4$).

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{2} - 2mx + m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 8$.

Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$.

Giải hệ phương trình

Cho đa thức $P(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d$, với $b, c, d$ là các số nguyên. Biết rằng $P(x)$ có một nghiệm $x = \sqrt{2}$ và $P(1) = 4$. Tìm $b, c, d$.

Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c \ge \dfrac{3}{2}$. Chứng minh rằng:

Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $\operatorname{lcm}(x, y) + 2.\operatorname{gcd}(x, y) = 61$.

(Với $\operatorname{lcm}(a, b), \operatorname{gcd}(a, b)$ lần lượt là ký hiệu bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a$ và $b$).

Tìm số nguyên tố $p$ để $n = 2^{p} + p^{2}$ là số nguyên tố.

Chứng minh rằng với mọi cách chọn 7 số bất kỳ trong 12 số nguyên dương đầu tiên, ta luôn tìm được hai số $a$ và $b$ trong 7 số đó sao cho $ab + 1$ là số chính phương.

Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn.

Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $AP$ và đường tròn $(O)$, với $Q$ khác $A$. Chứng minh $\widehat{PDQ} = \widehat{PAD}$.

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường tròn $(O)$, với $K$ khác $A$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $CQ$ và $DP$. Chứng minh ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng.