Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Kon Tum

Câu 1

2,0 điểm

1)
Chứng minh $a = \dfrac{4}{3 - \sqrt{7}} - \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{4 - \sqrt{7}}}$ là một số tự nhiên.
2)
Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + 4\sqrt{x}\right) : \left(\dfrac{x^{2}+4x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}\right)$ với $x > 0, x \neq 1$ .

Tìm $x$ để $P < 0$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+2}\left(\sqrt{x^{2}+x+2}+1\right) = 6$ .
2)
Cho phương trình $x^{2} + (m+1)x - 2m^{2} + 5m - 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$ thỏa mãn $2x_{1} - 5x_{2} = 7$ .

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ , $AB < AC$ . Các đường cao $AD, BM, CN$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$ ( $D, M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC, CA, AB$ ). Các đường thẳng $MN$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $E$ , đường thẳng $AE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ ( $G$ không trùng với $A$ ), đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $A'$ ( $A'$ không trùng với $A$ ), $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ .

1)
Chứng minh $EB.EC = EN.EM = EG.EA$ .
2)
Chứng minh tứ giác $DIMN$ nội tiếp.
3)
Tính tỉ số $\dfrac{AA'}{OI + HD}$ .

Câu 4

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \left(\sqrt{x^{2}+2024}+x\right)\left(\sqrt{y^{2}+2024}-y\right) = 2024 \\ \sqrt{x+4}+2x^{2} = 9y - \sqrt{y-1}+10 \end{cases}$
2)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x; y)$ thỏa mãn $x^{2} + 5y^{2} + 2x - 4xy - 4y = 168$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \dfrac{a}{1+bc} + \dfrac{b}{1+ca} + \dfrac{c}{1+ab}$ .