Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho hai số thực khác nhau $a, b$ và $ab+1 \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}=\frac{2}{1+ab}$ .

Tính giá trị của biểu thức $M=\frac{1}{a^{2025}+1}+\frac{1}{b^{2025}+1}$ .
2)
Cho $f(x)$ là đa thức bậc 4 có các hệ số nguyên. Biết rằng có bốn giá trị nguyên phân biệt của $x$ để $f(x)$ nhận cùng một giá trị bằng $2025$ . Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $x$ nào để $f(x)$ có giá trị bằng $2028$ .

Câu 2

1,0 điểm

Giải hệ phương trình

\begin{cases} 5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3} = 2(x+y) \\ xy(x^{2}+y^{2}-2)-x^{2}-y^{2}+2 = 0 \end{cases}

Câu 3

1,0 điểm

Gọi $M$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ các chữ số $1; 2; 3; 4; 5$ và $6$ . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $M$ , tính xác suất chọn được số chia hết cho $3$ .

Câu 4

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $2x^{3}+y^{3}+2x^{2}y+y^{2}x=2xy-5$ .
2)
Tìm tất cả các bộ số $(x; y; p)$ thỏa mãn $\frac{xy^{3}}{x+y}=p$ , biết $x, y, p$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố.

Câu 5

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và dây cung $BC$ cố định $(BC < 2R)$ . Điểm $A$ di động trên đường tròn $(O; R)$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ .

1)
Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $H$ của tam giác $BHC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại hai điểm $M, N$ . Chứng minh tam giác $AMN$ cân.
2)
Kẻ các đường cao $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ . Gọi $S$ là giao điểm thứ hai khác $A$ của đường thẳng $AH$ và đường tròn $(O)$ . Đường thẳng $SE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $X$ (khác $S$ ). Chứng minh đường thẳng $BX$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $EF$ .
3)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt tia phân giác của góc $BAC$ tại $K$ . Chứng minh điểm $K$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 6

1,0 điểm

Trên sân trường có một bảng ô vuông kích thước $6\text{m} \times 5\text{m}$ . Có 15 học sinh mặc áo màu xanh (trong đó chỉ có đúng một học sinh tên An và một học sinh tên Bảo) và 14 học sinh mặc áo màu trắng xếp hình thành chữ LS (viết tắt chữ Lam Sơn) sao cho mỗi học sinh đứng ở một ô vuông $1\text{m} \times 1\text{m}$ , dư lại một ô vuông trống (đánh dấu X), hai học sinh mặc áo xanh tên An và Bảo đứng ở hai ô vuông góc đối diện như hình vẽ (bảng 1).

Cho phép đổi vị trí các học sinh trong bảng theo quy tắc: Mỗi lần, chọn một học sinh đứng ở ô vuông kề với ô vuông trống rồi chuyển học sinh đó sang ô vuông trống. Hỏi bằng cách thực hiện liên tiếp một số hữu hạn lần phép chuyển học sinh theo quy tắc trên đối với bảng 1 ta có thể nhận được cách xếp sao cho An và Bảo đổi chỗ cho nhau còn các học sinh khác giữ nguyên vị trí như hình vẽ (bảng 2) hay không? Vì sao?

HẾT