Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Phú Yên

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho biểu thức $P = \dfrac{x+1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} + \dfrac{x^{2}-x\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$ , với $x > 0, x \neq 1$ .

Rút gọn biểu thức $P$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ để biểu thức $B = \dfrac{9}{P}$ nhận giá trị nguyên?
b)
Cho $a$ và $b$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau:

$2a^{2}+6a+3=0;\ 3b^{2}+6b+2=0;\ ab \neq 1.$

Không tính các giá trị của $a$ và $b$ , hãy tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{6.075b^{3}}{20ab^{2}+(ab+1)^{3}}$ .

Câu 2

3,0 điểm

a)
Giải phương trình: $x + \sqrt{3x^{2}+5x+2} = \sqrt{3x+2} + 2\sqrt{x+1}$ .
b)
Cho đa thức $P(x) = x^{2}+bx+c$ có hai nghiệm nguyên. Biết rằng $|c| \le 4$ và $|P(4)|$ là số nguyên tố. Xác định các hệ số $b$ và $c$ của đa thức $P(x)$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có độ dài $BC = a$ . Điểm $D$ di động trên tia đối của tia $AC$ sao cho $0^{0} < \widehat{ABD} < 45^{0}$ . Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên đường thẳng $BC$ , $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $DE$ và $AB$ , $F$ là giao điểm của hai đường thẳng $CH$ và $DB$ .

a)
Chứng minh rằng $HF.HC = HE.HD$ .
b)
Xác định vị trí của điểm $D$ trên tia đối của tia $AC$ sao cho $HF.HC$ có giá trị lớn nhất.

Câu 4

2,0 điểm

Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài $AB = 2a$ , $O$ là trung điểm của $AB$ . Trên nửa đường tròn $(O; OA)$ lấy hai điểm $C, D$ sao cho $\widehat{COD} = 60^{0}$ và $C$ thuộc cung $AD$ ( $C$ khác $A$ và $D$ khác $B$ ). Đường thẳng $AD$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$ , hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $F$ .

a)
Chứng minh rằng $AE.AD + BE.BC = 4a^{2}$ .
b)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$ cắt đoạn thẳng $EF$ và đoạn thẳng $AB$ lần lượt tại $I$ và $H$ ( $H$ khác $O$ ). Chứng minh rằng ba điểm $F, I, H$ thẳng hàng.
c)
Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$ . Chứng minh rằng $FK$ là phân giác của góc $\widehat{AFB}$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho các số nguyên $a, b, c, d$ thỏa mãn $a^{3}+64b^{3}-2024c^{3}+2026d^{3}=0$ .

Chứng minh rằng $(a+b+c+d)^{2}$ chia hết cho $9$ .

Câu 6

1,0 điểm

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $0 < x < y \le 13$ và $2xy \le 13x+9y$ .

Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2} \le 250$ .