Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Bình

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức $P=\left(\frac{3}{x-3\sqrt{x}}-\frac{1}{3-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}+3}{x-6\sqrt{x}+9}$

a)
Tìm điều kiện của $x$ để $P$ xác định và rút gọn $P$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P \leq -2$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^{4}+\sqrt{x^{2}+3}=3$ .
b)
Cho phương trình $x^{2}-2(m-1)x-m^{2}-3=0$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1}|+2|x_{2}|=6$ .

Câu 3

3,5 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ cố định và hai điểm $A, B$ cố định trên đường tròn đó $(AB \neq 2R)$ . Một điểm $C$ di động trên $(O;R)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $I$ là trung điểm của $HC$ .

Chứng minh rằng:

a)
$CDHE$ là tứ giác nội tiếp đường tròn và $OC$ vuông góc với $DE$ .
b)
$ID$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BED$ .
c)
Đoạn thẳng $DE$ có độ dài không đổi.

Câu 4

1,5 điểm

Một hộp đựng 9 thẻ có kích thước và hình dạng giống nhau được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ và ghép thành số có hai chữ số. Tính xác suất của các biến cố sau:

a)
$A$ : “Số tạo thành là số nguyên tố”.
b)
$B$ : “Số tạo thành là số khi chia cho 3 dư 2 và khi chia cho 7 dư 3”.

Câu 5

1,5 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình
$(x-y)(x+y)+x^{2}(1-y)=17-2y.$
b)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $\frac{p+1}{2}$ và $\frac{p^{2}+1}{2}$ là các số chính phương.