Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức $P = \dfrac{3x + 4\sqrt{x} - 7}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1}$ .

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Câu 2

1,0 điểm

Cho $P(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số nguyên. Biết rằng, $P(2025)$ và $P(2026)$ là các số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng, đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Câu 3

1,0 điểm

Lớp 9D có 45 học sinh, mỗi bạn đều biết chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: đá cầu, bóng đá. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp đó. Xét các biến cố:

$A$ : “Học sinh được chọn biết chơi cả hai môn đá cầu và bóng đá”;

$B$ : “Học sinh được chọn biết chơi môn đá cầu”.

Biết rằng, xác suất của biến cố $A$ bằng $\dfrac{2}{9}$ , xác suất của biến cố $B$ bằng $\dfrac{2}{3}$ . Tính xác suất của biến cố $C$ : “Học sinh được chọn biết chơi môn bóng đá”.

Câu 4

2,0 điểm

a)
Cho số nguyên dương $n$ là tích của ba số nguyên tố phân biệt. Biết rằng, tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$ bằng $2n - 16$ . Chứng minh rằng, $n - 8$ chia hết cho 6.
b)
Cho $p$ là số nguyên tố thoả mãn $p - 1$ chia hết cho 4. Chứng minh rằng, $p^{3} - p^{2} - 4$ không phải là số chính phương.

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ ( $AB < AC$ ) nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $BH$ và $CQ$ là hai đường cao của tam giác $ABC$ . Tiếp tuyến tại $B$ và tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ . Hai đường thẳng $OM$ và $BC$ cắt nhau tại $N$ .

a)
Chứng minh rằng, $\widehat{ABO} = \widehat{BHN}$ .
b)
Đường thẳng $OM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$ và $S$ ( $D$ nằm giữa $O$ và $M$ ). Hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $F$ . Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ . Chứng minh rằng, hai đường thẳng $OI$ và $AS$ vuông góc với nhau.
c)
Hai đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $E$ . Hai đường thẳng $AN$ và $HQ$ cắt nhau tại $G$ . Chứng minh rằng, hai đường thẳng $GE$ và $OM$ song song với nhau.

Câu 6

1,0 điểm

Bạn Thái viết ra bảng 100 số nguyên dương đôi một phân biệt, mỗi số không lớn hơn $2^{98}$ . Đối với mỗi cặp số $(a, b)$ được bạn Thái viết ra, bạn Nguyên viết số $a + b - \text{UCLN}(a, b)$ trên bảng. Chứng minh rằng, có ít nhất một số trong các số mà bạn Nguyên viết khác với tất cả các số mà bạn Thái viết.

HẾT